Упр.236 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить графически неравенство:
   
   1) $$\frac{1}{3}x \geq x+1$$;
   
   2) $$\frac{1}{2}x < x-\frac{1}{2}$$;
   3) $$2x \leq 9-\frac{1}{3}x$$;
   
   4) $$3x > -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$$.

1) Рассмотрим графики функций $$y=\left(\frac13\right)^x$$ и $$y=x+1.$$

Они пересекаются в точке $$\left(0;1\right).$$

Так как при $$x<0$$ график функции $$y=\left(\frac13\right)^x$$ расположен выше графика прямой $$y=x+1,$$ то

$$\left(\frac13\right)^x\ge x+1 \quad \Rightarrow \quad x\le 0.$$

2) Рассмотрим графики функций $$y=\left(\frac12\right)^x$$ и $$y=x-\frac12.$$

Они пересекаются в точке $$\left(1;\frac12\right).$$

При $$x>1$$ график функции $$y=\left(\frac12\right)^x$$ расположен ниже графика прямой $$y=x-\frac12,$$ значит

$$\left(\frac12\right)^x<x-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x>1.$$

3) Рассмотрим графики функций $$y=2^x$$ и $$y=9-\frac13x.$$

Они пересекаются в точке $$\left(3;8\right).$$

При $$x\le 3$$ график функции $$y=2^x$$ не выше графика прямой $$y=9-\frac13x,$$ поэтому

$$2^x\le 9-\frac13x \quad \Rightarrow \quad x\le 3.$$

4) Рассмотрим графики функций $$y=3^x$$ и $$y=-\frac23x-\frac13.$$

Они пересекаются в точке $$\left(-1; \frac13\right).$$

При $$x>-1$$ график функции $$y=3^x$$ расположен выше графика прямой, значит

$$3^x>-\frac23x-\frac13 \quad \Rightarrow \quad x>-1.$$

Ответ: 1) $$x\le 0$$; 2) $$x>1$$; 3) $$x\le 3$$; 4) $$x>-1$$.