Упр.235 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ значения функции $$y=\frac{1}{4}x$$ больше значений функции $$y=\frac{1}{2}x+12$$?

Составим неравенство:

$$\left(\frac14\right)^x>\left(\frac12\right)^x+12.$$

Преобразуем левую часть:

$$\left(\frac14\right)^x=\left(\left(\frac12\right)^2\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x}.$$

Сделаем замену:

$$t=\left(\frac12\right)^x,\qquad t>0.$$

Тогда получаем:

$$t^2>t+12,$$

$$t^2-t-12>0,$$

$$\left(t-4\right)\left(t+3\right)>0.$$

Так как $$t>0,$$ то значение $$t<-3$$ не подходит. Остаётся:

$$t>4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\left(\frac12\right)^x>4=\left(\frac12\right)^{-2}.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ то знак неравенства при переходе к показателям меняется:

$$x<-2.$$

Ответ

$$x<-2.$$