Упр.233 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти целые решения неравенства на отрезке $$[-3; 3]$$:

1. 1) $$9^x-3^x-6>0$$; 2) $$4^x-2^x<12$$; 3) $$5^{2x+1}+4\cdot5^x>0$$; 4) $$3\cdot9^x+11\cdot3^x<4$$.

1) Рассмотрим неравенство $$9^x-3^x-6>0.$$

Сделаем замену: $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда получаем

$$t^2-t-6>0,$$

$$\left(t+2\right)\left(t-3\right)>0.$$

Так как $$t>0,$$ то подходит только

$$t>3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x>3^1 \Rightarrow x>1.$$

На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$2,\ 3.$$

2) Рассмотрим неравенство $$4^x-2^x<12.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$4^x-2^x-12<0.$$

Сделаем замену: $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-t-12<0,$$

$$\left(t+3\right)\left(t-4\right)<0.$$

Отсюда

$$-3<t<4.$$

С учётом $$t>0$$ получаем

$$0<2^x<4=2^2,$$

значит, $$x<2.$$

На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1.$$

3) Рассмотрим неравенство $$5^{2x+1}+4\cdot 5^x-1>0.$$

Сделаем замену: $$t=5^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$5t^2+4t-1>0,$$

$$\left(5t-1\right)\left(t+1\right)>0.$$

Так как $$t>0,$$ то $$t+1>0,$$ значит

$$5t-1>0,\quad t>\frac15.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$5^x>5^{-1}\Rightarrow x>-1.$$

На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$0,\ 1,\ 2,\ 3.$$

4) Рассмотрим неравенство $$3\cdot 9^x+11\cdot 3^x<4.$$

Перенесём всё влево:

$$3\cdot 9^x+11\cdot 3^x-4<0.$$

Сделаем замену: $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$3t^2+11t-4<0,$$

$$\left(3t-1\right)\left(t+4\right)<0.$$

Так как $$t>0,$$ то $$t+4>0,$$ значит

$$3t-1<0,\quad t<\frac13.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$3^x<3^{-1}\Rightarrow x<-1.$$

На отрезке $$[-3;3]$$ целые решения: $$-3,\ -2.$$

Ответ: 1) $$2,\ 3$$; 2) $$-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1$$; 3) $$0,\ 1,\ 2,\ 3$$; 4) $$-3,\ -2$$.