Упр.232 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3^{x+2}+3^{x-1}<28$$
2. $$2^{x-1}+2^{x+3}>17$$
3. $$2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\geq448$$
4. $$5^{3x+1}+5^{3x-3}\leq624$$

1) $$3^{x+2}+3^{x-1}<28$$

$$3^x\left(3^2+3^{-1}\right)<28$$

$$3^x\left(9+\frac13\right)<28$$

$$3^x\cdot \frac{28}{3}<28$$

$$3^x<3$$

$$3^x<3^1$$

Следовательно, $$x<1$$.

2) $$2^{x-1}+2^{x+3}>17$$

$$2^x\left(2^{-1}+2^3\right)>17$$

$$2^x\left(\frac12+8\right)>17$$

$$2^x\cdot \frac{17}{2}>17$$

$$2^x>2$$

$$2^x>2^1$$

Следовательно, $$x>1$$.

3) $$2^{2x-1}+2^{2x-2}+2^{2x-3}\ge 448$$

$$2^{2x}\left(2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}\right)\ge 448$$

$$2^{2x}\left(\frac12+\frac14+\frac18\right)\ge 448$$

$$2^{2x}\cdot \frac78\ge 448$$

$$2^{2x}\ge 448\cdot \frac87=512$$

$$2^{2x}\ge 2^9$$

Следовательно, $$2x\ge 9$$, откуда $$x\ge 4{,}5$$.

4) $$5^{3x+1}-5^{3x-3}\le 624$$

$$5^{3x}\left(5-5^{-3}\right)\le 624$$

$$5^{3x}\left(5-\frac{1}{125}\right)\le 624$$

$$5^{3x}\cdot \frac{624}{125}\le 624$$

$$5^{3x}\le 125$$

$$5^{3x}\le 5^3$$

Следовательно, $$3x\le 3$$, откуда $$x\le 1$$.

Ответ: 1) $$x<1$$; 2) $$x>1$$; 3) $$x\ge 4{,}5$$; 4) $$x\le 1$$.