Упр.231 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

231. 1) 2^(-x2+3x) < 4; 2) (7/9)^(2x2-3x) > = 9/7;
3) (13/11) ^(x2-3x) < 121/169; 4) (2*2/3)^(6x2+x) < =7*1/9.

1. $$2^{-x^2+3x}<4$$
   $$2^{-x^2+3x}<2^2$$
   $$-x^2+3x<2$$
   $$x^2-3x+2>0$$
   
   $$\left(x-1\right)\left(x-2\right)>0$$
   
   Отсюда
   $$x<1 \text{ или } x>2.$$
2. $$\left(\frac79\right)^{2x^2-3x}\ge \frac97$$
   
   $$\left(\frac79\right)^{2x^2-3x}\ge \left(\frac79\right)^{-1}$$
   
   Так как $$0<\frac79<1,$$ получаем
   $$2x^2-3x\le -1$$
   
   $$2x^2-3x+1\le 0$$
   
   $$\left(2x-1\right)\left(x-1\right)\le 0$$
   
   Отсюда
   $$\frac12\le x\le 1.$$
3. $$\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x}<\frac{121}{169}$$
   $$\frac{121}{169}=\left(\frac{11}{13}\right)^2=\left(\frac{13}{11}\right)^{-2}$$
   
   Тогда
   $$\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-3x}<\left(\frac{13}{11}\right)^{-2}$$
   Так как $$\frac{13}{11}>1,$$ имеем
   $$x^2-3x<-2$$
   
   $$x^2-3x+2<0$$
   
   $$\left(x-1\right)\left(x-2\right)<0$$
   
   Отсюда
   $$1<x<2.$$
4. $$\left(2\frac23\right)^{6x^2+x}\le 7\frac19$$
   
   $$2\frac23=\frac83,\qquad 7\frac19=\frac{64}{9}=\left(\frac83\right)^2$$
   
   Тогда
   $$\left(\frac83\right)^{6x^2+x}\le \left(\frac83\right)^2$$
   
   Так как $$\frac83>1,$$ получаем
   $$6x^2+x\le 2$$
   
   $$6x^2+x-2\le 0$$
   
   $$\left(3x+2\right)\left(2x-1\right)\le 0$$
   
   Отсюда
   $$-\frac23\le x\le \frac12.$$

Ответ

1) $$x<1$$ или $$x>2$$; 2) $$\frac12\le x\le 1$$; 3) $$1<x<2$$; 4) $$-\frac23\le x\le \frac12$$.