Упр.227 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что уравнение имеет только один корень $$x=1$$:
   1) $$4^x+25^x=29$$;
   2) $$7^x+18^x=25$$.

Проверим значение $$x=1$$:

$$4^1+25^1=4+25=29,$$

$$7^1+18^1=7+18=25.$$

Рассмотрим функции $$y=4^x+25^x$$ и $$y=7^x+18^x$$.

Так как функции $$4^x$$, $$25^x$$, $$7^x$$ и $$18^x$$ возрастают, то и их суммы тоже возрастают. Значит, каждая из этих функций может принимать одно и то же значение только при одном значении аргумента.

Следовательно, уравнение $$4^x+25^x=29$$ имеет единственный корень $$x=1$$, и уравнение $$7^x+18^x=25$$ имеет единственный корень $$x=1$$.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=1$$.