Упр.226 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$4\cdot 9^x-13\cdot 6^x+9\cdot 4^x=0$$
- $$16\cdot 9^x-25\cdot 12^x+9\cdot 16^x=0$$
- $$\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{2x}=12$$
- $$\sqrt[5]{x}\cdot 5^x=25$$
1) $$4\cdot 9^x-13\cdot 6^x+9\cdot 4^x=0$$
Разделим обе части на $$4^x$$:
$$4\left(\frac{9}{4}\right)^x-13\left(\frac{6}{4}\right)^x+9=0$$
Так как $$\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2$$, $$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$, сделаем замену:
$$y=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$
Тогда получаем квадратное уравнение:
$$4y^2-13y+9=0$$
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=25$$
$$y_{1,2}=\frac{13\pm 5}{8}$$
$$y_1=1,\quad y_2=\frac{9}{4}$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\frac{9}{4}=\left(\frac{3}{2}\right)^2 \Rightarrow x=2$$
2) $$16\cdot 9^x-25\cdot 12^x+9\cdot 16^x=0$$
Разделим на $$16^x$$:
$$16\left(\frac{9}{16}\right)^x-25\left(\frac{12}{16}\right)^x+9=0$$
Так как $$\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2$$, $$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$$, положим
$$y=\left(\frac{3}{4}\right)^x$$
Тогда:
$$16y^2-25y+9=0$$
$$D=25^2-4\cdot 16\cdot 9=49$$
$$y_{1,2}=\frac{25\pm 7}{32}$$
$$y_1=1,\quad y_2=\frac{9}{16}$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\left(\frac{3}{4}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$\left(\frac{3}{4}\right)^x=\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \Rightarrow x=2$$
3) $$\sqrt[x]{2}\cdot \sqrt[2x]{3}=12$$
Перепишем через степени:
$$2^{\frac{1}{x}}\cdot 3^{\frac{1}{2x}}=12$$
Так как $$12=2^2\cdot 3$$, получаем:
$$2^{\frac{1}{x}}\cdot 3^{\frac{1}{2x}}=2^2\cdot 3$$
В данном случае удобно заметить, что левая часть равна
$$\sqrt[2x]{2^2\cdot 3}= \sqrt[2x]{12}$$
Тогда:
$$\sqrt[2x]{12}=12$$
$$12^{\frac{1}{2x}}=12^1$$
$$\frac{1}{2x}=1$$
$$x=\frac{1}{2}$$
4) $$\sqrt[x]{5}\cdot 5^x=25$$
Запишем корень как степень:
$$5^{\frac{1}{x}}\cdot 5^x=25$$
$$5^{\frac{1}{x}+x}=5^2$$
Следовательно,
$$\frac{1}{x}+x=2$$
Умножим на $$x$$:
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
Ответ
1) $$x=0,\ 2$$; 2) $$x=0,\ 2$$; 3) $$x=\frac{1}{2}$$; 4) $$x=1$$.
