Упр.225 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

225. 1) 3^(2x+6)=2^(x+3);
2) 5^(x-2) = 4^(2x-4);
3) 2x*3x = 36^x2;
4) 9^(- корень (x-1)) = 1/27.

1. $$3^{2x+6}=2^{x+3}$$

   Представим левую часть как степень числа $$9$$, а правую — как степень числа $$2$$:

   $$9^{x+3}=2^{x+3}$$

   Тогда

   $$\left(\frac{9}{2}\right)^{x+3}=1$$

   Следовательно,

   $$x+3=0,\quad x=-3.$$

2. $$5^{x-2}=4^{2x-4}$$

   Преобразуем правую часть:

   $$4^{2x-4}=4^{2(x-2)}=16^{x-2}$$

   Тогда

   $$5^{x-2}=16^{x-2}$$

   или

   $$\left(\frac{5}{16}\right)^{x-2}=1$$

   Отсюда

   $$x-2=0,\quad x=2.$$

3. $$2^x\cdot 3^x=36^{x^2}$$

   Слева получаем:

   $$2^x\cdot 3^x=(2\cdot 3)^x=6^x$$

   А справа:

   $$36^{x^2}=(6^2)^{x^2}=6^{2x^2}$$

   Тогда

   $$6^x=6^{2x^2}$$

   Следовательно,

   $$x=2x^2$$

   $$2x^2-x=0$$

   $$x(2x-1)=0$$

   Отсюда

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac12.$$

4. $$9^{-\sqrt{x-1}}=\frac{1}{27}$$

   Представим всё в виде степеней числа $$3$$:

   $$\left(3^2\right)^{-\sqrt{x-1}}=3^{-3}$$

   $$3^{-2\sqrt{x-1}}=3^{-3}$$

   Тогда

   $$-2\sqrt{x-1}=-3$$

   $$2\sqrt{x-1}=3$$

   $$\sqrt{x-1}=\frac32$$

   $$x-1=\frac94$$

   $$x=\frac{13}{4}$$

   Проверка области определения: $$x-1\ge 0$$, значит $$x\ge 1$$. Найденное значение подходит.

Ответ

1) $$x=-3$$; 2) $$x=2$$; 3) $$x=0,\ \frac12$$; 4) $$x=\frac{13}{4}$$.