Упр.225 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение (225–226).

225. 1) $$3^{2x+6}=2^{x+3}$$;

     2) $$5^{x-2}=4^{2x-4}$$;

     3) $$2^x\cdot3^x=36^{x2}$$;

     4) $$9^{-\sqrt{x-1}}=\frac{1}{27}$$.

1. $$3^{2x+6}=2^{x+3}$$

   Представим левую часть как степень числа $$9$$:

   $$3^{2x+6}=3^{2(x+3)}=9^{x+3}$$

   Тогда

   $$9^{x+3}=2^{x+3}$$

   Разделим обе части на $$2^{x+3}$$:

   $$\left(\frac{9}{2}\right)^{x+3}=1$$

   Так как $$\left(\frac{9}{2}\right)^0=1$$, получаем:

   $$x+3=0$$

   $$x=-3$$

2. $$5^{x-2}=4^{2x-4}$$

   Преобразуем показатель у правой части:

   $$4^{2x-4}=4^{2(x-2)}=16^{x-2}$$

   Тогда

   $$5^{x-2}=16^{x-2}$$

   Разделим обе части на $$16^{x-2}$$:

   $$\left(\frac{5}{16}\right)^{x-2}=1$$

   Следовательно,

   $$x-2=0$$

   $$x=2$$

3. $$2^x\cdot 3^x=36^{x^2}$$

   Слева объединим степени с одинаковым показателем:

   $$2^x\cdot 3^x=(2\cdot 3)^x=6^x$$

   Тогда

   $$6^x=36^{x^2}=(6^2)^{x^2}=6^{2x^2}$$

   При равных основаниях получаем:

   $$x=2x^2$$

   $$2x^2-x=0$$

   $$x(2x-1)=0$$

   Отсюда

   $$x_1=0,\quad x_2=\frac12$$

4. $$9^{-\sqrt{x-1}}=\frac{1}{27}$$

   Область определения:

   $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1$$

   Запишем всё через основание $$3$$:

   $$9^{-\sqrt{x-1}}=(3^2)^{-\sqrt{x-1}}=3^{-2\sqrt{x-1}}$$

   $$\frac{1}{27}=3^{-3}$$

   Тогда

   $$-2\sqrt{x-1}=-3$$

   $$2\sqrt{x-1}=3$$

   $$\sqrt{x-1}=\frac32$$

   $$x-1=\frac94$$

   $$x=\frac{13}{4}$$

Ответ: 1) $$x=-3$$; 2) $$x=2$$; 3) $$x=0,\ \frac12$$; 4) $$x=\frac{13}{4}$$.