Упр.224 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ сумма чисел $$2^{x-1}$$, $$2^{x-4}$$ и $$2^{x-2}$$ равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$6{,}5; \ 3{,}25; \ 1{,}625; \ldots$$?

Найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $$6{,}5;\ 3{,}25;\ 1{,}625;\ldots$$

Её знаменатель:

$$q=\frac{3{,}25}{6{,}5}=\frac12.$$

Тогда сумма прогрессии равна

$$S=\frac{6{,}5}{1-\frac12}=13.$$

По условию

$$2^{x-1}+2^{x-4}+2^{x-2}=13.$$

Вынесем $$2^x$$ за скобки:

$$2^x\left(2^{-1}+2^{-4}+2^{-2}\right)=13.$$

Вычислим скобку:

$$2^{-1}+2^{-4}+2^{-2}=\frac12+\frac1{16}+\frac14=\frac{8}{16}+\frac{1}{16}+\frac{4}{16}=\frac{13}{16}.$$

Тогда

$$2^x\cdot \frac{13}{16}=13,$$

$$2^x=16,$$

$$2^x=2^4,$$

$$x=4.$$

Ответ

$$x=4$$