Упр.223 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$8\cdot 4^x-6\cdot 2^{x+1}=0$$
2. $$\left(\frac{1}{4}\right)^x+\left(\frac{1}{2}\right)^x-6=0$$
3. $$13^{2x+1}-13^x-12=0$$
4. $$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3=0$$
5. $$2^{3x}+8\cdot 2^x-6\cdot 2^{2x}=0$$
6. $$5^{3x+1}+34\cdot 5^{2x}-7\cdot 5^x=0$$

1) $$8\cdot 4^x-6\cdot 2^x+1=0$$

Пусть $$y=2^x$$, тогда $$4^x=(2^x)^2=y^2$$. Получаем:

$$8y^2-6y+1=0$$

$$D=(-6)^2-4\cdot 8\cdot 1=36-32=4$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{16}$$

$$y_1=\frac14,\quad y_2=\frac12$$

Тогда:

$$2^x=\frac14=2^{-2}\Rightarrow x=-2$$

$$2^x=\frac12=2^{-1}\Rightarrow x=-1$$

Ответ: $$-2;\,-1$$

2) $$\left(\frac14\right)^x+\left(\frac12\right)^x-6=0$$

Пусть $$y=\left(\frac12\right)^x$$, тогда $$\left(\frac14\right)^x=\left(\left(\frac12\right)^2\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x}=y^2$$. Получаем:

$$y^2+y-6=0$$

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$

$$y_1=2,\quad y_2=-3$$

Так как $$\left(\frac12\right)^x>0$$, значение $$y=-3$$ не подходит. Тогда:

$$\left(\frac12\right)^x=2=\left(\frac12\right)^{-1}$$

$$x=-1$$

Ответ: $$-1$$

3) $$13^{2x+1}-13^x-12=0$$

Пусть $$y=13^x$$, тогда $$13^{2x+1}=13\cdot 13^{2x}=13y^2$$. Получаем:

$$13y^2-y-12=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 13\cdot(-12)=625$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 25}{26}$$

$$y_1=1,\quad y_2=-\frac{12}{13}$$

Так как $$13^x>0$$, значение $$y=-\frac{12}{13}$$ не подходит. Тогда:

$$13^x=1=13^0$$

$$x=0$$

Ответ: $$0$$

4) $$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3=0$$

Пусть $$y=3^x$$, тогда $$3^{2x+1}=3\cdot 3^{2x}=3y^2$$. Получаем:

$$3y^2-10y+3=0$$

$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=64$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$

$$y_1=3,\quad y_2=\frac13$$

Тогда:

$$3^x=3=3^1\Rightarrow x=1$$

$$3^x=\frac13=3^{-1}\Rightarrow x=-1$$

Ответ: $$-1;\,1$$

5) $$2^{3x}+8\cdot 2^x-6\cdot 2^{2x}=0$$

Преобразуем:

$$2^x\left(2^{2x}+8-6\cdot 2^x\right)=0$$

Так как $$2^x>0$$, получаем:

$$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0$$

Пусть $$y=2^x$$, тогда:

$$y^2-6y+8=0$$

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 8=4$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$

$$y_1=4,\quad y_2=2$$

Тогда:

$$2^x=4=2^2\Rightarrow x=2$$

$$2^x=2=2^1\Rightarrow x=1$$

Ответ: $$1;\,2$$

6) $$5^{3x+1}+34\cdot 5^{2x}-7\cdot 5^x=0$$

Преобразуем:

$$5\cdot 5^{2x}+34\cdot 5^x-7=0$$

Пусть $$y=5^x$$, тогда:

$$5y^2+34y-7=0$$

$$D=34^2-4\cdot 5\cdot(-7)=1296$$

$$y_{1,2}=\frac{-34\pm 36}{10}$$

$$y_1=\frac15,\quad y_2=-7$$

Так как $$5^x>0$$, значение $$y=-7$$ не подходит. Тогда:

$$5^x=\frac15=5^{-1}$$

$$x=-1$$

Ответ: $$-1$$