Упр.223 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2)(1/4)x+(1/2)x -6 -0;
3) 13^(2x+1) -13x -12=0;
4) 3^(2x+1) — 10*3x+3=0;
5) 2^3x+8*2x-6*2^2x=0;
6) 5^(3x+1) +34 * 5^2x — 7 *5x =0.

1. $$8\cdot 4^x-6\cdot 2^x+1=0$$

   Пусть $$y=2^x$$, тогда $$4^x=(2^x)^2=y^2$$. Получаем:

   $$8y^2-6y+1=0$$

   $$D=(-6)^2-4\cdot 8\cdot 1=36-32=4$$

   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{16}$$

   $$y_1=\frac14,\quad y_2=\frac12$$

   Тогда:

   $$2^x=\frac14=2^{-2}\Rightarrow x=-2$$

   $$2^x=\frac12=2^{-1}\Rightarrow x=-1$$

2. $$\left(\frac14\right)^x+\left(\frac12\right)^x-6=0$$

   Так как $$\left(\frac14\right)^x=\left(\left(\frac12\right)^2\right)^x=\left(\frac12\right)^{2x}$$, положим $$y=\left(\frac12\right)^x$$. Тогда:

   $$y^2+y-6=0$$

   $$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-6)=25$$

   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}$$

   $$y_1=2,\quad y_2=-3$$

   Так как $$\left(\frac12\right)^x>0$$, значение $$y=-3$$ не подходит. Значит:

   $$\left(\frac12\right)^x=2=\left(\frac12\right)^{-1}$$

   Отсюда $$x=-1$$.

3. $$13^{2x+1}-13^x-12=0$$

   Пусть $$y=13^x$$. Тогда $$13^{2x+1}=13\cdot (13^x)^2=13y^2$$, и получаем:

   $$13y^2-y-12=0$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 13\cdot(-12)=625$$

   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 25}{26}$$

   $$y_1=1,\quad y_2=-\frac{12}{13}$$

   Так как $$13^x>0$$, подходит только $$y=1$$:

   $$13^x=1=13^0\Rightarrow x=0$$

4. $$3^{2x+1}-10\cdot 3^x+3=0$$

   Пусть $$y=3^x$$. Тогда $$3^{2x+1}=3(3^x)^2=3y^2$$, и получаем:

   $$3y^2-10y+3=0$$

   $$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=64$$

   $$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}$$

   $$y_1=3,\quad y_2=\frac13$$

   Тогда:

   $$3^x=3=3^1\Rightarrow x=1$$

   $$3^x=\frac13=3^{-1}\Rightarrow x=-1$$

5. $$2^{3x}+8\cdot 2^x-6\cdot 2^{2x}=0$$

   Перепишем:

   $$2^x\left(2^{2x}+8-6\cdot 2^x\right)=0$$

   Так как $$2^x>0$$, получаем:

   $$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0$$

   Пусть $$y=2^x$$. Тогда:

   $$y^2-6y+8=0$$

   $$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 8=4$$

   $$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$

   $$y_1=4,\quad y_2=2$$

   Следовательно:

   $$2^x=4=2^2\Rightarrow x=2$$

   $$2^x=2=2^1\Rightarrow x=1$$

6. $$5^{3x+1}+34\cdot 5^{2x}-7\cdot 5^x=0$$

   Вынесем $$5^x$$ за скобки:

   $$5^x\left(5^{2x+1}+34\cdot 5^x-7\right)=0$$

   Так как $$5^x>0$$, имеем:

   $$5\cdot 5^{2x}+34\cdot 5^x-7=0$$

   Пусть $$y=5^x$$. Тогда:

   $$5y^2+34y-7=0$$

   $$D=34^2-4\cdot 5\cdot(-7)=1296$$

   $$y_{1,2}=\frac{-34\pm 36}{10}$$

   $$y_1=\frac15,\quad y_2=-7$$

   Так как $$5^x>0$$, подходит только $$y=\frac15$$:

   $$5^x=\frac15=5^{-1}\Rightarrow x=-1$$

Ответ

1) $$x=-2,\,-1$$; 2) $$x=-1$$; 3) $$x=0$$; 4) $$x=-1,\,1$$; 5) $$x=1,\,2$$; 6) $$x=-1$$.