Упр.221 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) 1,5^(|5-x|)= 1,5^(|x-1|);
3) 3^(|x+1|)= 3^(2-|x|);
4) 3^|x|= 3^(|2-x|-1).
$$2^{|x-2|}=2^{|x+4|}$$
Так как основания равны и больше $$1$$, то приравниваем показатели:
$$|x-2|=|x+4|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$ (x-2)^2=(x+4)^2 \\ x^2-4x+4=x^2+8x+16 \\ -12x=12 $$
$$x=-1$$
$$1{,}5^{|5-x|}=1{,}5^{|x-1|}$$
Приравниваем показатели:
$$|5-x|=|x-1|$$
Возведём в квадрат:
$$ (5-x)^2=(x-1)^2 \\ 25-10x+x^2=x^2-2x+1 \\ -8x=-24 $$
$$x=3$$
$$3^{|x+1|}=3^{2-|x|}$$
Приравниваем показатели:
$$|x+1|=2-|x|$$
Перенесём модули в одну сторону:
$$|x+1|+|x|=2$$
Рассмотрим случай $$x\ge 0$$. Тогда $$|x|=x$$.
Если $$x\ge 0$$ и $$x+1\ge 0$$, то
$$x+1+x=2$$
$$2x=1$$
$$x=\frac12$$
Проверка подходит.
Если $$x<0$$, то решений нет.
Значит, $$x=\frac12$$.
$$3^{|x|}=3^{|2-x|-1}$$
Приравниваем показатели:
$$|x|=|2-x|-1$$
$$|x|+1=|2-x|$$
Рассмотрим случай $$0\le x\le 2$$. Тогда $$|x|=x$$, $$|2-x|=2-x$$:
$$x+1=2-x$$
$$2x=1$$
$$x=\frac12$$
Проверка подходит.
В остальных случаях решений нет.
Ответ
1) $$x=-1$$; 2) $$x=3$$; 3) $$x=\frac12$$; 4) $$x=\frac12$$.
