Упр.22 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1. $$q=\frac{1}{2}$$, $$b_5=\frac{\sqrt{2}}{16}$$;
2. $$q=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$b_4=\frac{9}{8}$$.

1) Используем формулу $$b_n=b_1q^{n-1}.$$ Тогда

$$b_5=b_1q^4,$$

откуда

$$b_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{\frac{\sqrt2}{16}}{\left(\frac12\right)^4}=\frac{\frac{\sqrt2}{16}}{\frac1{16}}=\sqrt2.$$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sqrt2}{1-\frac12}=\frac{\sqrt2}{\frac12}=2\sqrt2.$$

Ответ: $$2\sqrt2.$$

2) Аналогично,

$$b_4=b_1q^3,$$

значит

$$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{\frac98}{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^3}=\frac{\frac98}{\frac{3\sqrt3}{8}}=\frac{9}{3\sqrt3}=\sqrt3.$$

Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sqrt3}{1-\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt3}{\frac{2-\sqrt3}{2}}=\frac{2\sqrt3}{2-\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$S=\frac{2\sqrt3(2+\sqrt3)}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\frac{2\sqrt3(2+\sqrt3)}{4-3}=2\sqrt3(2+\sqrt3).$$

Ответ: $$2\sqrt3(2+\sqrt3).$$