Упр.219 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$7^{x-2}=3^{2-x}$$
2. $$2^{x-3}=3^{3-x}$$
3. $$3^{\frac{x+2}{4}}=5^{x+2}$$
4. $$4^{\frac{x-3}{2}}=3^{2(x-3)}$$

1) $$7^{x-2}=3^{2-x}$$

$$3^{2-x}=3^{-(x-2)}=\left(\frac13\right)^{x-2}$$

Тогда

$$7^{x-2}=\left(\frac13\right)^{x-2}$$

$$\left(7\cdot 3\right)^{x-2}=1$$

$$21^{x-2}=21^0$$

$$x-2=0,\quad x=2$$

Ответ: $$2$$

2) $$2^{x-3}=3^{3-x}$$

$$3^{3-x}=3^{-(x-3)}=\left(\frac13\right)^{x-3}$$

Тогда

$$2^{x-3}=\left(\frac13\right)^{x-3}$$

$$\left(2\cdot 3\right)^{x-3}=1$$

$$6^{x-3}=6^0$$

$$x-3=0,\quad x=3$$

Ответ: $$3$$

3) $$3^{\frac{x+2}{4}}=5^{x+2}$$

$$3^{\frac{x+2}{4}}=\left(\sqrt[4]{3}\right)^{x+2}$$

Тогда

$$\left(\sqrt[4]{3}\right)^{x+2}=5^{x+2}$$

$$\left(\frac{\sqrt[4]{3}}{5}\right)^{x+2}=1$$

$$x+2=0,\quad x=-2$$

Ответ: $$-2$$

4) $$4^{\frac{x-3}{2}}=3^{2(x-3)}$$

$$4^{\frac{x-3}{2}}=\left(\sqrt{4}\right)^{x-3}=2^{x-3}$$

$$3^{2(x-3)}=3^{2x-6}=\left(3^2\right)^{x-3}=9^{x-3}$$

Тогда

$$2^{x-3}=9^{x-3}$$

$$\left(\frac{2}{9}\right)^{x-3}=1$$

$$x-3=0,\quad x=3$$

Ответ: $$3$$