Упр.216 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$10^x=\sqrt[3]{100}$$
2. $$10^x=\sqrt[4]{10000}$$
3. $$225^{2x^2-24}=15$$
4. $$10^x=\frac{1}{\sqrt[4]{10000}}$$
5. $$\left(\sqrt{10}\right)^x=10^{x^2-x}$$
6. $$100^{x^2-1}=10^{1-5x}$$

1) $$10^x=\sqrt[3]{100}=\sqrt[3]{10^2}=10^{\frac23}$$

Следовательно, $$x=\frac23.$$

2) $$10^x=\sqrt[5]{10000}=\sqrt[5]{10^4}=10^{\frac45}$$

Следовательно, $$x=\frac45=0{,}8.$$

3) $$225^{2x^2-24}=15$$

Так как $$225=15^2,$$ получаем

$$15^{2(2x^2-24)}=15^1$$

$$4x^2-48=1$$

$$4x^2=49$$

$$x^2=\frac{49}{4}$$

$$x=\pm \frac72=\pm 3{,}5.$$

4) $$10^x=\frac{1}{\sqrt[4]{10000}}=\frac{1}{\sqrt[4]{10^4}}=\frac{1}{10}=10^{-1}$$

Следовательно, $$x=-1.$$

5) $$\left(\sqrt{10}\right)^x=10^{x^2-x}$$

$$\left(10^{\frac12}\right)^x=10^{x^2-x}$$

$$10^{\frac{x}{2}}=10^{x^2-x}$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=x^2-x$$

$$2x^2-3x=0$$

$$x(2x-3)=0$$

$$x_1=0,\quad x_2=\frac32.$$

6) $$100^{x^2-1}=10^{1-5x}$$

$$10^{2(x^2-1)}=10^{1-5x}$$

$$2x^2-2=1-5x$$

$$2x^2+5x-3=0$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=49$$

$$x=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{2\cdot 2}$$

$$x_1=\frac{-5+7}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{-5-7}{4}=-3.$$

Ответ: 1) $$\frac23$$; 2) $$0{,}8$$; 3) $$\pm 3{,}5$$; 4) $$-1$$; 5) $$0,\ \frac32$$; 6) $$-3,\ \frac12$$.