Упр.215 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$0{,}3^{x^3-x^2+x-1}=1$$
2. $$\left(2\cdot\frac{1}{3}\right)^{-x^2-2x+3}=1$$
3. $$5{,}1^{\frac{1}{2}(x-3)}=5{,}1\sqrt{5{,}1}$$
4. $$100^{x^2-1}=10^{1-5x}$$

1) $$0{,}3^{x^3-x^2+x-1}=1$$

Так как $$a^0=1$$ при $$a>0,\ a\ne 1$$, получаем:

$$x^3-x^2+x-1=0$$

Разложим на множители:

$$x^2(x-1)+(x-1)=0$$

$$\left(x^2+1\right)(x-1)=0$$

Отсюда $$x-1=0$$, значит $$x=1$$.

2) $$\left(2\frac{1}{3}\right)^{-x^2-2x+3}=1$$

Тогда показатель равен нулю:

$$-x^2-2x+3=0$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$

$$x_1=-3,\quad x_2=1$$

3) $$5{,}1^{\frac{1}{2}(x-3)}=5{,}1\sqrt{5{,}1}$$

Представим правую часть как степень с основанием $$5{,}1$$:

$$5{,}1\sqrt{5{,}1}=5{,}1^{1+\frac12}=5{,}1^{\frac32}$$

Тогда:

$$\frac{1}{2}(x-3)=\frac{3}{2}$$

$$x-3=3$$

$$x=6$$

4) $$100^{x^2-1}=10^{1-5x}$$

Так как $$100=10^2$$, имеем:

$$10^{2(x^2-1)}=10^{1-5x}$$

Следовательно, приравниваем показатели:

$$2(x^2-1)=1-5x$$

$$2x^2+5x-3=0$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=49$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$

$$x_1=\frac12,\quad x_2=-3$$

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=-3,\ 1$$; 3) $$x=6$$; 4) $$x=-3,\ \frac12$$.