Упр.214 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3^{x^2+x-12}=1$$
2. $$2^{x^2-7x+10}=1$$
3. $$2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$$
4. $$0{,}5^{\frac{1}{x}}=4^{\frac{1}{x+1}}$$

1) $$3^{x^2+x-12}=1$$

Так как $$1=3^0$$, получаем:

$$x^2+x-12=0$$

$$D=1+48=49$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$

$$x_1=-4,\quad x_2=3$$

2) $$2^{x^2-7x+10}=1$$

Так как $$1=2^0$$, имеем:

$$x^2-7x+10=0$$

$$D=49-40=9$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=5$$

3) $$2^{\frac{x-1}{x-2}}=4$$

Представим $$4$$ как степень двойки:

$$2^{\frac{x-1}{x-2}}=2^2$$

Тогда

$$\frac{x-1}{x-2}=2$$

$$x-1=2x-4$$

$$x=3$$

Проверим область допустимых значений: $$x-2\ne 0$$, значит $$x\ne 2$$. Значение $$x=3$$ подходит.

4) $$0{,}5^{\frac1x}=4^{\frac1{x+1}}$$

Перепишем основания через степень двойки:

$$\left(\frac12\right)^{\frac1x}=\left(2^2\right)^{\frac1{x+1}}$$

$$2^{-\frac1x}=2^{\frac{2}{x+1}}$$

Следовательно,

$$-\frac1x=\frac{2}{x+1}$$

$$-(x+1)=2x$$

$$-x-1=2x$$

$$3x=-1$$

$$x=-\frac13$$

Проверка ОДЗ: $$x\ne 0$$, $$x\ne -1$$. Значение $$x=-\frac13$$ подходит.

Ответ

1) $$-4; 3$$
2) $$2; 5$$
3) $$3$$
4) $$-\frac13$$