Упр.21 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:

1. $$b_n=3\cdot(-2)^n$$;
2. $$b_n=-5\cdot4^n$$;
3. $$b_n=8\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$;
4. $$b_n=3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$.

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если $$|q|<1.$$

1. $$b_n=3\cdot(-2)^n$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot(-2)^{n+1}}{3\cdot(-2)^n}=-2.$$

   Так как $$|q|=2>1,$$ последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

   Ответ: не является.

2. $$b_n=-5\cdot4^n$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{-5\cdot4^{n+1}}{-5\cdot4^n}=4.$$

   Так как $$|q|=4>1,$$ последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

   Ответ: не является.

3. $$b_n=8\cdot\left(-\frac13\right)^{n-1}$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{8\cdot\left(-\frac13\right)^n}{8\cdot\left(-\frac13\right)^{n-1}}=-\frac13.$$

   Так как $$|q|=\frac13<1,$$ последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

   Ответ: является.

4. $$b_n=3\cdot\left(-\frac12\right)^{n-1}$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot\left(-\frac12\right)^n}{3\cdot\left(-\frac12\right)^{n-1}}=-\frac12.$$

   Так как $$|q|=\frac12<1,$$ последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

   Ответ: является.