Упр.205 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Построить график функции: 1) $$y=2^{|x|}$$; 2) $$y=\frac{1}{3}|x|$$; 3) $$y=|3x-2|$$; 4) $$y=2-3x$$.
1) Для функции $$y=2^{|x|}$$ имеем $$y(-x)=2^{|-x|}=2^{|x|}=y(x),$$ значит, функция чётная. Достаточно построить её при $$x\ge 0,$$ где $$y=2^x.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Множество значений: $$y\ge 1.$$
Точки для построения:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ |
График симметричен относительно оси $$Oy$$.
2) Для функции $$y=\left(\frac13\right)^{|x|}$$ также получаем чётность:
$$y(-x)=\left(\frac13\right)^{|-x|}=\left(\frac13\right)^{|x|}=y(x).$$
При $$x\ge 0$$ имеем $$y=\left(\frac13\right)^x.$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Множество значений: $$0<y\le 1.$$
Точки для построения:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ |
|---|---|---|
| $$y$$ | $$1$$ | $$\frac13$$ |
График симметричен относительно оси $$Oy$$.
3) Рассмотрим функцию $$y=\lvert 3x-2\rvert.$$ Сначала построим график функции $$y=3x-2,$$ а затем часть, лежащую ниже оси $$Ox,$$ отразим относительно этой оси.
Точка пересечения с осью $$Ox$$ находится из уравнения $$3x-2=0,$$ откуда $$x=\frac23.$$
Следовательно,
$$y=\begin{cases} 2-3x, & x<\frac23,\\ 3x-2, & x\ge \frac23. \end{cases}$$
4) Функция $$y=2-3x$$ — линейная. Для построения достаточно взять две точки:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ |
|---|---|---|
| $$y$$ | $$2$$ | $$-1$$ |
График — прямая, проходящая через точки $$\left(0,2\right)$$ и $$\left(1,-1\right).$$
Ответ
1) График функции $$y=2^{|x|}$$ — чётный, проходит через точки $$\left(0,1\right), \left(1,2\right), \left(2,4\right).$$
2) График функции $$y=\left(\frac13\right)^{|x|}$$ — чётный, проходит через точки $$\left(0,1\right), \left(1,\frac13\right).$$
3) $$y=\lvert 3x-2\rvert=\begin{cases}2-3x,& x<\frac23,\\3x-2,& x\ge \frac23.\end{cases}$$
4) График функции $$y=2-3x$$ — прямая через точки $$\left(0,2\right)$$ и $$\left(1,-1\right).$$
