Упр.20 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 0,(5);
2) 0,(8);
3) 0,(32);
4) 0,2(5).

1. $$0,(5)=0,5+0,05+0,005+\dots$$
   Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где
   $$b_1=0,5,\quad q=0,1.$$
   Тогда
   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}.$$
2. $$0,(8)=0,8+0,08+0,008+\dots$$
   Здесь
   $$b_1=0,8,\quad q=0,1.$$
   Следовательно,
   $$S=\frac{0,8}{1-0,1}=\frac{0,8}{0,9}=\frac{8}{9}.$$
3. $$0,(32)=0,32+0,0032+0,000032+\dots$$
   Это геометрическая прогрессия с
   $$b_1=0,32,\quad q=0,01.$$
   Тогда
   $$S=\frac{0,32}{1-0,01}=\frac{0,32}{0,99}=\frac{32}{99}.$$
4. $$0,2(5)=0,2+0,05+0,005+0,0005+\dots$$
   Сумма состоит из числа $$0,2$$ и бесконечной геометрической прогрессии:
   $$b_1=0,05,\quad q=0,1.$$
   Поэтому
   $$S=0,2+\frac{0,05}{1-0,1}=0,2+\frac{0,05}{0,9}=0,2+\frac{5}{90}=\frac{23}{90}.$$

Ответ

$$1)\ \frac{5}{9};\quad 2)\ \frac{8}{9};\quad 3)\ \frac{32}{99};\quad 4)\ \frac{23}{90}.$$