Упр.191 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При различных значениях $$a$$ решить неравенства:

1. $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x-6}
2. $$2x+\sqrt{a^2-x^2}>0$$.

1) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-2}+\sqrt{x-6}<a.$$

Область определения: $$x-2\ge 0,\quad x-6\ge 0,$$ значит $$x\ge 6.$$

Левая часть при $$x\ge 6$$ возрастает, поэтому её наименьшее значение достигается при $$x=6$$:

$$\sqrt{6-2}+\sqrt{6-6}=2.$$

Следовательно:

• если $$a\le 2,$$ решений нет;
• если $$a>2,$$ то нужно решить неравенство

$$\sqrt{x-2}+\sqrt{x-6}<a.$$

Возведём в квадрат:

$$x-2+x-6+2\sqrt{(x-2)(x-6)}<a^2,$$

$$2x-8+2\sqrt{x^2-8x+12}<a^2,$$

$$\sqrt{x^2-8x+12}<\frac{a^2-2x+8}{2}.$$

После повторного возведения в квадрат получаем:

$$4(x^2-8x+12)<(a^2-2x+8)^2,$$

откуда

$$4a^2x<a^4+16a^2+16.$$

Значит,

$$x<\frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}.$$

С учётом области определения окончательно:

$$6\le x<\frac{a^4+16a^2+16}{4a^2}.$$

2) Рассмотрим неравенство $$2x+\sqrt{a^2-x^2}>0.$$

Область определения:

$$a^2-x^2\ge 0,\quad -|a|\le x\le |a|.$$

Перенесём:

$$\sqrt{a^2-x^2}>-2x.$$

Если $$x>0,$$ то правая часть отрицательна, и неравенство выполняется при всех $$x$$ из области определения. Тогда остаётся только условие

$$0<x\le |a|.$$

Если $$x\le 0,$$ то можно возвести в квадрат:

$$a^2-x^2>4x^2,$$

$$a^2>5x^2,$$

$$x^2<\frac{a^2}{5},$$

то есть

$$-\frac{|a|}{\sqrt5}<x<0.$$

Объединяя с случаем $$x>0,$$ получаем:

$$-\frac{|a|}{\sqrt5}<x\le |a|.$$

Ответ

1) Если $$a\le 2,$$ решений нет; если $$a>2,$$ то $$6\le x<\dfrac{a^4+16a^2+16}{4a^2}.$$

2) $$-\dfrac{|a|}{\sqrt5}<x\le |a|.$$