Упр.188 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{x+4}-3\sqrt[4]{x}+2=0$$
2. $$\sqrt{x-3}=3\sqrt[4]{x}+4$$
3. $$\sqrt[6]{1-x}-5\sqrt[3]{1-x}=-6$$
4. $$x^2+3x+\sqrt{x^2+3x}=2$$
5. $$\frac{\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}}{\sqrt{3x-1}-\sqrt{3+x}}=2$$
6. $$\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{11+x-6(x+2)}=1$$

1) Обозначим $$y=\sqrt[4]{x+4}.$$ Тогда $$y^2-3y+2=0,$$ откуда $$y_1=1,\quad y_2=2.$$

1) Если $$\sqrt[4]{x+4}=1,$$ то $$x+4=1,$$ значит $$x=-3.$$

2) Если $$\sqrt[4]{x+4}=2,$$ то $$x+4=16,$$ значит $$x=12.$$

Следовательно, $$x=-3,\ 12.$$

2) Обозначим $$y=\sqrt[4]{x-3}.$$ Тогда $$y^2-3y-4=0,$$ откуда $$y_1=-1,\quad y_2=4.$$

Так как $$\sqrt[4]{x-3}\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Остаётся

$$\sqrt[4]{x-3}=4,$$

тогда $$x-3=4^4=256,$$ значит $$x=259.$$

3) Обозначим $$y=\sqrt[3]{1-x}.$$ Тогда $$y^2-5y+6=0,$$ откуда $$y_1=2,\quad y_2=3.$$

1) Если $$\sqrt[3]{1-x}=2,$$ то $$1-x=8,$$ значит $$x=-7.$$

2) Если $$\sqrt[3]{1-x}=3,$$ то $$1-x=27,$$ значит $$x=-26.$$

Следовательно, $$x=-7,\ -26.$$

4) Обозначим $$y=\sqrt{x^2+3x}.$$ Тогда $$y^2+y-2=0,$$ откуда $$y_1=1,\quad y_2=-2.$$

Так как $$\sqrt{x^2+3x}\ge 0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит. Тогда

$$\sqrt{x^2+3x}=1,$$

откуда

$$x^2+3x=1,$$

$$x^2+3x-1=0.$$

Тогда

$$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}.$$

5) Пусть

$$a=\sqrt{3-x},\quad b=\sqrt{3+x}.$$

Тогда

$$\frac{a+b}{a-b}=2,$$

откуда

$$a+b=2a-2b,$$

$$3b=a.$$

Возводим в квадрат:

$$9(3+x)=3-x,$$

$$27+9x=3-x,$$

$$10x=-24,$$

$$x=-\frac{12}{5}.$$

Проверка области определения: $$-3\le x\le 3.$$ Значение $$x=-\frac{12}{5}$$ подходит.

6) Обозначим $$t=\sqrt{x+2}.$$ Тогда

$$\sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{11+x-6\sqrt{x+2}}=1$$

преобразуется к виду

$$|t-2|+|t-3|=1.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$t\le 2,$$ то $$2-t+3-t=1,$$ откуда $$t=2$$;
• если $$2\le t\le 3,$$ то $$t-2+3-t=1,$$ тождество верно;
• если $$t\ge 3,$$ то $$t-2+t-3=1,$$ откуда $$t=3.$$

Значит, $$2\le t\le 3,$$ то есть

$$2\le \sqrt{x+2}\le 3.$$

Возводим в квадрат:

$$4\le x+2\le 9,$$

$$2\le x\le 7.$$

Ответ: 1) $$x=-3,\ 12$$; 2) $$x=259$$; 3) $$x=-7,\ -26$$; 4) $$x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$$; 5) $$x=-\frac{12}{5}$$; 6) $$2\le x\le 7$$.