Упр.187 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

187–188. Решить уравнение:

1) $$\sqrt{x-4}=\sqrt{x-3}-\sqrt{2x-1};$$

2) $$2\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+7}=\sqrt{x};$$

3) $$\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+4};$$

4) $$\sqrt{9-2x}=2\sqrt{4-x}-\sqrt{1-x}.$$

1) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x-4}=\sqrt{x-3}-\sqrt{2x-1}.$$

Для существования корней нужно, чтобы правая часть была неотрицательной:

$$\sqrt{x-3}-\sqrt{2x-1}\ge 0,$$

откуда

$$\sqrt{x-3}\ge \sqrt{2x-1} \Rightarrow x-3\ge 2x-1 \Rightarrow x\le -2.$$

Но при этом должно выполняться $$x-4\ge 0,$$ то есть $$x\ge 4.$$

Совместно эти условия не выполняются, значит, уравнение не имеет корней.

2) $$2\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+7}=\sqrt{x}.$$

Перенесём один корень:

$$2\sqrt{x+3}=\sqrt{x}+\sqrt{2x+7}.$$

Возведём в квадрат:

$$4x+12=x+2\sqrt{x(2x+7)}+2x+7,$$

$$x+5=2\sqrt{2x^2+7x}.$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^2+10x+25=4(2x^2+7x),$$

$$7x^2+18x-25=0.$$

$$D=18^2+4\cdot 7\cdot 25=1024,$$

$$x=\frac{-18\pm 32}{14}.$$

Получаем:

$$x_1=1,\qquad x_2=-\frac{25}{7}.$$

Проверка показывает, что $$x=-\frac{25}{7}$$ не подходит, а $$x=1$$ является корнем.

3) $$\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+4}.$$

Перенесём корень:

$$\sqrt{x-3}+\sqrt{x+4}=\sqrt{2x+1}.$$

Возведём в квадрат:

$$x-3+2\sqrt{(x-3)(x+4)}+x+4=2x+1,$$

$$2\sqrt{x^2+x-12}=0.$$

Значит,

$$x^2+x-12=0,$$

$$(x+4)(x-3)=0.$$

Отсюда $$x=-4$$ или $$x=3.$$

Проверка: $$x=-4$$ не подходит, а $$x=3$$ является корнем.

4) $$\sqrt{9-2x}=2\sqrt{4-x}-\sqrt{1-x}.$$

Перенесём корень:

$$\sqrt{9-2x}+\sqrt{1-x}=2\sqrt{4-x}.$$

Возведём в квадрат:

$$9-2x+1-x+2\sqrt{(9-2x)(1-x)}=16-4x,$$

$$2\sqrt{(9-2x)(1-x)}=6-3x.$$

Снова возведём в квадрат:

$$4(9-2x)(1-x)=(6-3x)^2.$$

После раскрытия скобок получаем:

$$7x^2-32x=0,$$

$$x(7x-32)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=\frac{32}{7}.$$

Проверка показывает, что $$x=\frac{32}{7}$$ не подходит, а $$x=0$$ является корнем.

Ответ

1) корней нет; 2) $$x=1$$; 3) $$x=3$$; 4) $$x=0$$.