Упр.187 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) корень (x-4) = корень (x-3) — корень (2x-1);
2) 2 корень (x+3) — корень (2x+7) = корень x;
3) корень (x-3) = корень (2x+1) — корень (x+4);
4) корень (9-2x) = 2 корень (4-x) — корень (1-x).

Подробный ответ

$$\sqrt{x-4}=\sqrt{x-3}-\sqrt{2x-1}$$
Правая часть должна быть неотрицательной, значит
$$\sqrt{x-3}\ge \sqrt{2x-1}$$
$$x-3\ge 2x-1$$
$$-x\ge 2$$
$$x\le -2$$
Но при этом из области определения нужно $$x-4\ge 0$$, то есть $$x\ge 4$$. Совместить эти условия невозможно.
Следовательно, уравнение не имеет решений.
$$2\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+7}=\sqrt{x}$$
Перенесём корень:
$$2\sqrt{x+3}=\sqrt{x}+\sqrt{2x+7}$$
Возведём в квадрат:
$$4x+12=x+2\sqrt{x(2x+7)}+2x+7$$
$$x+5=2\sqrt{2x^2+7x}$$
$$x^2+10x+25=4(2x^2+7x)$$
$$7x^2+18x-25=0$$
$$D=18^2+4\cdot 7\cdot 25=1024$$
$$x_1=\frac{-18-32}{14}=-\frac{25}{7},\qquad x_2=\frac{-18+32}{14}=1$$
Проверка показывает, что $$x=-\frac{25}{7}$$ не подходит, а $$x=1$$ является корнем.
$$\sqrt{x-3}=\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+4}$$
Перенесём корень:
$$\sqrt{x-3}+\sqrt{x+4}=\sqrt{2x+1}$$
Возведём в квадрат:
$$x-3+2\sqrt{(x-3)(x+4)}+x+4=2x+1$$
$$2\sqrt{x^2+x-12}=0$$
$$x^2+x-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_1=3,\qquad x_2=-4$$
Проверка: $$x=-4$$ не подходит, а $$x=3$$ удовлетворяет уравнению.
$$\sqrt{9-2x}=2\sqrt{4-x}-\sqrt{1-x}$$
Перенесём корень:
$$\sqrt{9-2x}+\sqrt{1-x}=2\sqrt{4-x}$$
Возведём в квадрат:
$$9-2x+1-x+2\sqrt{(9-2x)(1-x)}=16-4x$$
$$2\sqrt{2x^2-11x+9}=6-x$$
$$4(2x^2-11x+9)=(6-x)^2$$
$$8x^2-44x+36=x^2-12x+36$$
$$7x^2-32x=0$$
$$x(7x-32)=0$$
$$x_1=0,\qquad x_2=\frac{32}{7}$$
Проверка показывает, что $$x=\frac{32}{7}$$ не подходит, а $$x=0$$ является корнем.