Упр.182 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Являются ли равносильными уравнения:

1. $$2^{x^2+3x}=2^2$$ и $$x^2+3x=2$$;
2. $$\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{2}$$ и $$x^2+3x=2$$;
3. $$\sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2-x}$$ и $$x+18=2-x$$?

1) Для уравнения $$2^{x^2+3x}=2^2$$ при одинаковом основании $$2>0,\;2\neq 1$$ равенство степеней равносильно равенству показателей:

$$x^2+3x=2.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

2) Для уравнения $$\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{2}$$ возведём обе части в квадрат. Так как обе части неотрицательны, получаем равносильное уравнение:

$$x^2+3x=2.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

3) Для уравнения $$\sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2-x}$$ возведём обе части в куб. Функция кубического корня определена при любых значениях переменной и взаимно однозначна, поэтому получаем:

$$x+18=2-x.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ

1) равносильны; 2) равносильны; 3) равносильны.