Упр.182 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) 2^(x2+3x) = 2^2 и х2 + 3х = 2;
2) корень (х2 + 3х) = корень 2 и х2 + 3х = 2;
3) корень 3 степени (x + 18) = корень 3 степени (2 — х) и x+18 = 2-x?

Подробный ответ

$$2^{x^2+3x}=2^2 \quad \text{и} \quad x^2+3x=2$$
Так как основания степеней одинаковые и больше нуля, то из равенства степеней получаем равенство показателей:
$$x^2+3x=2$$
Следовательно, уравнения равносильны.
$$\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{2} \quad \text{и} \quad x^2+3x=2$$
Возведём первое уравнение в квадрат:
$$\left(\sqrt{x^2+3x}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2$$
Получаем:
$$x^2+3x=2$$
При этом нужно учесть область определения: $$x^2+3x\ge 0$$. Но это условие выполняется автоматически для решений уравнения $$x^2+3x=2$$, так как при нём подкоренное выражение равно числу $$2$$.
Значит, уравнения равносильны.
$$\sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2-x} \quad \text{и} \quad x+18=2-x$$
Возведём первое уравнение в куб:
$$\left(\sqrt[3]{x+18}\right)^3=\left(\sqrt[3]{2-x}\right)^3$$
Получаем:
$$x+18=2-x$$
Следовательно, уравнения равносильны.