Упр.180 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений:

1. а) $$y=0{,}5x+3$$;
   б) $$y=\frac{2}{x-3}$$;
   в) $$y=(x+2)^3$$;
   г) $$y=x^3-1$$.

1. Для функции $$y=0{,}5x+3$$ область определения и множество значений: $$x\in \mathbb{R},\ y\in \mathbb{R}.$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=0{,}5y+3$$

   $$0{,}5y=x-3$$

   $$y=2x-6$$

   Следовательно, обратная функция: $$y=2x-6.$$

2. Для функции $$y=\dfrac{2}{x-3}$$ область определения: $$x\neq 3,$$ множество значений: $$y\neq 0.$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=\dfrac{2}{y-3}$$

   $$x(y-3)=2$$

   $$xy-3x=2$$

   $$y=\dfrac{2}{x}+3$$

   Следовательно, обратная функция: $$y=\dfrac{2}{x}+3.$$

   Её область определения: $$x\neq 0,$$ множество значений: $$y\neq 3.$$

3. Для функции $$y=(x+2)^3$$ область определения и множество значений: $$x\in \mathbb{R},\ y\in \mathbb{R}.$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=(y+2)^3$$

   $$\sqrt[3]{x}=y+2$$

   $$y=\sqrt[3]{x}-2$$

   Следовательно, обратная функция: $$y=\sqrt[3]{x}-2.$$

4. Для функции $$y=x^3-1$$ область определения и множество значений: $$x\in \mathbb{R},\ y\in \mathbb{R}.$$

   Найдём обратную функцию:

   $$x=y^3-1$$

   $$x+1=y^3$$

   $$y=\sqrt[3]{x+1}$$

   Следовательно, обратная функция: $$y=\sqrt[3]{x+1}.$$

Ответ: 1) $$y=2x-6$$; 2) $$y=\dfrac{2}{x}+3$$; 3) $$y=\sqrt[3]{x}-2$$; 4) $$y=\sqrt[3]{x+1}$$.