Упр.18 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
   1) $$q=-\frac{1}{2}$$, $$b_1=\frac{1}{8}$$;
   2) $$q=\frac{1}{3}$$, $$b_5=\frac{1}{81}$$;
   3) $$q=-\frac{1}{3}$$, $$b_1=9$$;
   4) $$q=-\frac{1}{2}$$, $$b_4=\frac{1}{8}$$.

Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}$$

1. $$q=-\frac{1}{2}, \quad b_1=\frac{1}{8}$$

   $$S=\frac{\frac{1}{8}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{12}$$

2. $$q=\frac{1}{3}, \quad b_5=\frac{1}{81}$$

   Найдём первый член:

   $$b_5=b_1q^4$$

   $$\frac{1}{81}=b_1\left(\frac{1}{3}\right)^4=b_1\cdot\frac{1}{81}$$

   $$b_1=1$$

   Тогда

   $$S=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$$

3. $$q=-\frac{1}{3}, \quad b_1=9$$

   $$S=\frac{9}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{9}{\frac{4}{3}}=9\cdot\frac{3}{4}=\frac{27}{4}$$

4. $$q=-\frac{1}{2}, \quad b_4=\frac{1}{8}$$

   Найдём первый член:

   $$b_4=b_1q^3$$

   $$\frac{1}{8}=b_1\left(-\frac{1}{2}\right)^3=b_1\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)$$

   $$b_1=-1$$

   Тогда

   $$S=\frac{-1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{-1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}$$

Ответ: $$\frac{1}{12};\ \frac{3}{2};\ \frac{27}{4};\ -\frac{2}{3}$$