Упр.177 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Расположить числа в порядке возрастания:

а) $$0{,}3^{\pi}$$, $$0{,}3^{0{,}5}$$, $$0{,}3^{\frac{2}{3}}$$, $$0{,}3^{3{,}1415}$$;
б) $$\sqrt{2}^{\pi}$$, $$1{,}9^{\pi}$$, $$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{\pi}$$, $$\pi^{\pi}$$;
в) $$5^{-2}$$, $$5^{-0{,}7}$$, $$5^{\frac{1}{3}}$$, $$\left(\frac{1}{5}\right)^{2{,}1}$$;
г) $$0{,}5^{-\frac{2}{3}}$$, $$1{,}3^{-\frac{2}{3}}$$, $$\pi^{-\frac{2}{3}}$$, $$\left(\sqrt{2}\right)^{-\frac{2}{3}}$$.

Подробный ответ

1) Так как основание $$0{,}3$$ меньше $$1$$, то при большем показателе значение степени меньше. Сравним показатели:

$$0{,}5 < \frac{2}{3} < 3{,}1415 < \pi.$$

Значит,

$$0{,}3^\pi < 0{,}3^{3{,}1415} < 0{,}3^{\frac{2}{3}} < 0{,}3^{0{,}5}.$$

2) Представим числа в виде степеней с основанием больше $$1$$:

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\pi = (\sqrt{2})^{-\pi}, \qquad \sqrt{2}^\pi = (\sqrt{2})^\pi, \qquad 1{,}9^\pi, \qquad \pi^\pi.$$

Так как

$$\frac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} < 1{,}9 < \pi,$$

то при одинаковом положительном показателе $$\pi$$ получаем:

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\pi < (\sqrt{2})^\pi < 1{,}9^\pi < \pi^\pi.$$

3) Запишем $$\left(\frac{1}{5}\right)^{2{,}1} = 5^{-2{,}1}.$$ Тогда сравниваем показатели:

$$-2{,}1 < -2 < -0{,}7 < \frac{1}{3}.$$

Так как основание $$5>1$$, то большему показателю соответствует большее значение. Следовательно,

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{2{,}1} < 5^{-2} < 5^{-0{,}7} < 5^{\frac{1}{3}}.$$

4) Представим числа с отрицательным показателем:

$$0{,}5^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{2}{3}}, \qquad 1{,}3^{-\frac{2}{3}}, \qquad \pi^{-\frac{2}{3}}, \qquad (\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}.$$

Так как показатель отрицательный, то при большем основании значение меньше. Сравним основания:

$$0{,}5 < 1{,}3 < \sqrt{2} < \pi.$$

Значит,

$$\pi^{-\frac{2}{3}} < (\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}} < 1{,}3^{-\frac{2}{3}} < 0{,}5^{-\frac{2}{3}}.$$