Упр.174 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) корень (x2-3x+2) > x+3;
2) корень (2×2-7x-4) > -x-1/4.

1) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x^2-3x+2}>x+3.$$

Если $$x+3<0,$$ то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, значит неравенство выполняется. Но при этом должно быть определено выражение под корнем:

$$x^2-3x+2\ge 0,$$

$$ (x-1)(x-2)\ge 0,$$

откуда

$$x\le 1 \text{ или } x\ge 2.$$

Теперь возведём обе части в квадрат при условии $$x+3\ge 0$$:

$$x^2-3x+2>(x+3)^2,$$

$$x^2-3x+2>x^2+6x+9,$$

$$-9x>7,$$

$$x<-\frac79.$$

С учётом условия $$x+3\ge 0$$ получаем $$x\ge -3.$$

Пересекаем все условия:

$$-3\le x<-\frac79.$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{2x^2-7x-4}>-x-\frac14.$$

Если $$-x-\frac14<0,$$ то неравенство выполняется при условии существования корня:

$$2x^2-7x-4\ge 0.$$

Решим это квадратное неравенство:

$$2x^2-7x-4=(2x+1)(x-4),$$

$$ (2x+1)(x-4)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -\frac12 \text{ или } x\ge 4.$$

Кроме того,

$$-x-\frac14<0,$$

$$x>-\frac14.$$

Пересечение даёт $$x\ge 4.$$

Если же $$-x-\frac14\ge 0,$$ то можно возвести обе части в квадрат:

$$2x^2-7x-4>\left(-x-\frac14\right)^2,$$

$$2x^2-7x-4>x^2+\frac12x+\frac1{16},$$

$$16x^2-120x-65>0.$$

Найдём корни уравнения $$16x^2-120x-65=0$$:

$$D=120^2+4\cdot 16\cdot 65=18560=64\cdot 290,$$

$$x_{1,2}=\frac{120\pm 8\sqrt{290}}{32}=\frac{15\pm \sqrt{290}}{4}.$$

Тогда

$$16x^2-120x-65>0 \iff x<\frac{15-\sqrt{290}}{4}\ \text{или}\ x>\frac{15+\sqrt{290}}{4}.$$

С учётом условия $$x\le -\frac14$$ и области определения $$x\le -\frac12 \text{ или } x\ge 4$$ остаётся только

$$x<\frac{15-\sqrt{290}}{4}.$$

Объединяя оба случая, получаем:

$$x<\frac{15-\sqrt{290}}{4}\ \text{или}\ x\ge 4.$$

Ответ

1) $$-3\le x<-\frac79.$$

2) $$x<\frac{15-\sqrt{290}}{4}\ \text{или}\ x\ge 4.$$