Упр.172 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
172. 1) корень x > =x;
2) корень x < x;
3) корень x > =2x-1;
4) корень x > =x2.
$$\sqrt{x}\ge x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2$$. Получаем:
$$t\ge t^2$$
$$t^2-t\le 0$$
$$t(t-1)\le 0$$
Отсюда $$0\le t\le 1$$, значит
$$0\le x\le 1$$.
$$\sqrt{x}
Область определения: $$x\ge 0$$.
При $$x=0$$ неравенство неверно, при $$0<x<1$$ имеем $$\sqrt{x}>x$$, а при $$x>1$$ — $$\sqrt{x}<x$$.
Следовательно,
$$x>1$$.
$$\sqrt{x}\ge 2x-1$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2$$. Получаем:
$$t\ge 2t^2-1$$
$$2t^2-t-1\le 0$$
$$\left(2t+1\right)\left(t-1\right)\le 0$$
Так как $$t\ge 0$$, то подходит $$0\le t\le 1$$, значит
$$0\le x\le 1$$.
$$\sqrt{x}\ge x^2$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2$$. Получаем:
$$t\ge t^4$$
$$t^4-t\le 0$$
$$t(t^3-1)\le 0$$
$$t(t-1)(t^2+t+1)\le 0$$
Так как $$t^2+t+1>0$$, то
$$t(t-1)\le 0$$, откуда $$0\le t\le 1$$.
Следовательно,
$$0\le x\le 1$$.
Ответ
1) $$0\le x\le 1$$; 2) $$x>1$$; 3) $$0\le x\le 1$$; 4) $$0\le x\le 1$$.
