Упр.169 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sqrt{2x^2+3x-2}>0$$
- $$\sqrt{2+x-x^2}>-1$$
- $$\sqrt{6-x^2}<\sqrt{5}$$
- $$\sqrt{x^2-x}>\sqrt{2}$$
- $$\sqrt{x^2+2x}>-3-x^2$$
- $$\sqrt{4x-x^2}>-2-3x^2$$
1) $$\sqrt{2x^2+3x-2}>0$$
Так как корень положителен, то подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:
$$2x^2+3x-2>0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$$
$$x_1=-2,\qquad x_2=\frac12$$
Тогда
$$2x^2+3x-2=(x+2)(2x-1)>0$$
Отсюда
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>\frac12$$
2) $$\sqrt{2+x-x^2}>-1$$
Левая часть неотрицательна при всех допустимых значениях, значит неравенство верно для всех $$x$$, при которых выражение под корнем имеет смысл:
$$2+x-x^2\ge 0$$
$$x^2-x-2\le 0$$
$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$
Следовательно,
$$-1\le x\le 2$$
3) $$\sqrt{6x-x^2}<\sqrt5$$
Возведём обе части в квадрат, учитывая, что обе части неотрицательны:
$$6x-x^2<5$$
$$x^2-6x+5>0$$
$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$$
Отсюда
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>5$$
Теперь учтём область определения:
$$6x-x^2\ge 0$$
$$x(6-x)\ge 0$$
$$0\le x\le 6$$
Пересечение даёт:
$$0\le x<1 \quad \text{или} \quad 5<x\le 6$$
4) $$\sqrt{x^2-x}>\sqrt2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-x>2$$
$$x^2-x-2>0$$
$$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$
Тогда
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2$$
Проверка области определения:
$$x^2-x\ge 0$$
$$x(x-1)\ge 0$$
$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x\ge 1$$
Окончательно получаем
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>2$$
5) $$\sqrt{x^2+2x}>-3-x^2$$
Правая часть не больше нуля, а левая часть неотрицательна. Значит, неравенство верно при всех допустимых значениях $$x$$:
$$x^2+2x\ge 0$$
$$x(x+2)\ge 0$$
Отсюда
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 0$$
6) $$\sqrt{4x-x^2}>-2-3x^2$$
Правая часть всегда неположительна, а левая часть неотрицательна. Поэтому достаточно найти область определения:
$$4x-x^2\ge 0$$
$$x(4-x)\ge 0$$
$$0\le x\le 4$$
Следовательно,
$$0\le x\le 4$$
Ответ
1) $$x<-2,\ x>\frac12$$
2) $$-1\le x\le 2$$
3) $$0\le x<1,\ 5<x\le 6$$
4) $$x<-1,\ x>2$$
5) $$x\le -2,\ x\ge 0$$
6) $$0\le x\le 4$$
