Упр.168 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sqrt{x^2-1}>1$$
- $$\sqrt{1-x^2}<1$$
- $$\sqrt{25-x^2}>4$$
- $$\sqrt{25-x^2}<4$$
1) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x^2-1}>1.$$
Так как левая часть неотрицательна, возведём обе части в квадрат:
$$x^2-1>1,$$
$$x^2>2.$$
Кроме того, выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$$x^2-1\ge 0,$$
$$x^2\ge 1.$$
Совмещая условия, получаем:
$$x^2>2,$$
откуда
$$x<-\sqrt2 \text{ или } x>\sqrt2.$$
2) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{1-x^2}<1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$1-x^2<1,$$
$$-x^2<0,$$
$$x^2>0,$$
то есть $$x\ne 0.$$
При этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$1-x^2\ge 0,$$
$$x^2\le 1,$$
$$-1\le x\le 1.$$
Следовательно,
$$-1\le x<0 \text{ или } 0<x\le 1.$$
3) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{25-x^2}>4.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$25-x^2>16,$$
$$-x^2>-9,$$
$$x^2<9,$$
$$-3<x<3.$$
Проверим область определения:
$$25-x^2\ge 0,$$
$$x^2\le 25,$$
$$-5\le x\le 5.$$
Это условие выполняется при найденных значениях, значит
$$-3<x<3.$$
4) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{25-x^2}<4.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$25-x^2<16,$$
$$-x^2<-9,$$
$$x^2>9,$$
откуда
$$x<-3 \text{ или } x>3.$$
С учётом области определения:
$$25-x^2\ge 0,$$
$$x^2\le 25,$$
$$-5\le x\le 5.$$
Тогда получаем:
$$-5\le x<-3 \text{ или } 3<x\le 5.$$
Ответ
1) $$x<-\sqrt2,\ x>\sqrt2$$
2) $$-1\le x<0,\ 0<x\le 1$$
3) $$-3<x<3$$
4) $$-5\le x<-3,\ 3<x\le 5$$
