Упр.168 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) корень (1-x2) < 1;
3) корень (25-x2) > 4;
4) корень (25-x2) < 4.
$$\sqrt{x^2-1}>1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2-1>1$$
$$x^2>2$$
Но выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$$x^2-1\ge 0$$
$$x^2\ge 1$$
Это условие уже выполняется при $$x^2>2$$. Тогда
$$x<-\sqrt2 \text{ или } x>\sqrt2$$
$$\sqrt{1-x^2}<1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$1-x^2<1$$
$$-x^2<0$$
$$x^2>0$$
$$x\ne 0$$
Область определения:
$$1-x^2\ge 0$$
$$x^2\le 1$$
$$-1\le x\le 1$$
С учётом $$x\ne 0$$ получаем:
$$-1\le x<0 \text{ или } 0<x\le 1$$
$$\sqrt{25-x^2}>4$$
Возведём обе части в квадрат:
$$25-x^2>16$$
$$-x^2>-9$$
$$x^2<9$$
$$-3<x<3$$
Проверим область определения:
$$25-x^2\ge 0$$
$$x^2\le 25$$
$$-5\le x\le 5$$
Она не сужает найденный промежуток, значит
$$-3<x<3$$
$$\sqrt{25-x^2}<4$$
Возведём обе части в квадрат:
$$25-x^2<16$$
$$-x^2<-9$$
$$x^2>9$$
$$x<-3 \text{ или } x>3$$
Область определения:
$$25-x^2\ge 0$$
$$x^2\le 25$$
$$-5\le x\le 5$$
Пересекаем с найденным решением:
$$-5\le x<-3 \text{ или } 3<x\le 5$$
Ответ
1) $$x<-\sqrt2 \text{ или } x>\sqrt2$$;
2) $$-1\le x<0 \text{ или } 0<x\le 1$$;
3) $$-3<x<3$$;
4) $$-5\le x<-3 \text{ или } 3<x\le 5$$.
