Упр.1624 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1624 Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Преобразуем числитель и знаменатель:

$$ 2\cos^4 x+\sin^2 x =2\cos^4 x+1-\cos^2 x =\cos^2 x(2\cos^2 x-1)+1 =\cos^2 x(\cos^2 x-\sin^2 x)+1 =\cos^2 x\cos 2x+1, $$

$$ 2\sin^4 x+3\cos^2 x =2\sin^4 x+3-3\sin^2 x =\sin^2 x(2\sin^2 x-3)+3 =\cos^2 x\cos 2x+2. $$

Тогда

$$ y=\frac{\cos^2 x\cos 2x+1}{\cos^2 x\cos 2x+2}. $$

Обозначим

$$ t=\cos^2 x\cos 2x. $$

Тогда

$$ y=\frac{t+1}{t+2}. $$

Найдём возможные значения $t$:

$$ t=\cos^2 x(2\cos^2 x-1). $$

Положим $u=\cos^2 x$, тогда $u\in[0,1]$ и

$$ t=u(2u-1)=2u^2-u. $$

Это парабола, ветви вверх. На отрезке $[0,1]$ её минимум достигается в вершине:

$$ u=\frac14,\qquad t_{\min}=2\cdot\frac1{16}-\frac14=-\frac18. $$

Максимум на концах отрезка:

$$ t(0)=0,\qquad t(1)=1, $$

значит

$$ t\in\left[-\frac18,\,1\right]. $$

Функция

$$ y=\frac{t+1}{t+2} $$

возрастает, так как

$$ y'(t)=\frac{1}{(t+2)^2}>0. $$

Следовательно, наименьшее значение достигается при $t=-\frac18$, а наибольшее — при $t=1$:

$$ y_{\min}=\frac{1-\frac18}{2-\frac18}=\frac{\frac78}{\frac{15}{8}}=\frac7{15}, \qquad y_{\max}=\frac{1+1}{1+2}=\frac23. $$

Ответ

$$ y_{\max}=\frac23,\qquad y_{\min}=\frac7{15}. $$