Упр.1624 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Преобразуем функцию:

$$y=\frac{2\cos^4 x+\sin^2 x}{2\sin^4 x+3\cos^2 x}.$$

Числитель:

$$2\cos^4 x+\sin^2 x=2\cos^4 x+1-\cos^2 x=\cos^2 x(2\cos^2 x-1)+1=\cos^2 x\cos 2x+1.$$

Знаменатель:

$$2\sin^4 x+3\cos^2 x=2\sin^4 x+3-3\sin^2 x=\cos^2 x\cos 2x+2.$$

Тогда

$$y=\frac{\cos^2 x\cos 2x+1}{\cos^2 x\cos 2x+2}.$$

Обозначим

$$t=\cos^2 x\cos 2x.$$

Тогда

$$y=\frac{t+1}{t+2}.$$

Найдём возможные значения $$t$$. Так как

$$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$

то

$$t=\cos^2 x(2\cos^2 x-1).$$

Положим $$u=\cos^2 x,$$ тогда $$0\le u\le 1$$ и

$$t=u(2u-1)=2u^2-u.$$

На отрезке $$[0,1]$$ функция $$2u^2-u$$ принимает значения от $$-\frac18$$ до $$1$$, значит

$$-\frac18\le t\le 1.$$

Функция

$$y=\frac{t+1}{t+2}$$

возрастает при $$t>-2$$, поэтому на указанном промежутке её наименьшее значение достигается при $$t=-\frac18$$, а наибольшее — при $$t=1$$.

Вычислим:

$$y_{\min}=\frac{-\frac18+1}{-\frac18+2}=\frac{\frac78}{\frac{15}{8}}=\frac{7}{15},$$

$$y_{\max}=\frac{1+1}{1+2}=\frac23.$$

Ответ: $$y_{\max}=\frac23,\quad y_{\min}=\frac{7}{15}.$$