Упр.1623 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1623 Найти все значения параметра а, при которых вершины двух парабол у = 4×2 + 8ах — 9 и у = 4ах2 — 8х + а — 2 лежат по одну сторону от прямой у = -5. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1623 1111
Найдём координаты вершин парабол.
Для первой параболы $$y=4x^2+8ax-9$$ имеем:
$$x_1=-\frac{8a}{2\cdot 4}=-a,$$
$$y_1=4(-a)^2+8a(-a)-9=-4a^2-9.$$
Для второй параболы $$y=4ax^2-8x+a-2$$:
$$x_2=-\frac{-8}{2\cdot 4a}=\frac{1}{a}, \quad a\ne 0,$$
$$y_2=4a\left(\frac{1}{a}\right)^2-8\cdot \frac{1}{a}+a-2=a-\frac{4}{a}-2.$$
Чтобы вершины лежали по одну сторону от прямой $$y=-5,$$ их ординаты должны быть либо обе больше $$-5,$$ либо обе меньше $$-5.$$
1) Оба выше прямой:
$$ \begin{cases} -4a^2-9>-5,\\ a-\frac{4}{a}-2>-5. \end{cases} $$
Из первого неравенства получаем:
$$-4a^2>4,$$
что невозможно. Значит, этот случай не подходит.
2) Оба ниже прямой:
$$ \begin{cases} -4a^2-9<-5,\\ a-\frac{4}{a}-2<-5. \end{cases} $$
Первое неравенство выполняется при всех $$a,$$ так как
$$-4a^2<4.$$
Решим второе:
$$ a-\frac{4}{a}-2<-5 $$
$$ a+3-\frac{4}{a}<0 $$
$$ \frac{a^2+3a-4}{a}<0,\quad a\ne 0 $$
$$ \frac{(a+4)(a-1)}{a}<0. $$
Исследуем знаки множителей. Получаем:
$$a<-4 \quad \text{или} \quad 0<a<1.$$
Ответ
$$a<-4;\; 0<a<1.$$
