Упр.1623 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения параметра $$a$$, при которых вершины двух парабол $$y=4x^2+8ax-9$$ и $$y=4ax^2-8x+a-2$$ лежат по одну сторону от прямой $$y=-5$$.

Найдём координаты вершин парабол.

Для $$y=4x^2+8ax-9$$ имеем:

$$x_1=-\frac{8a}{2\cdot 4}=-a,$$

$$y_1=f(-a)=4a^2+8a(-a)-9=-4a^2-9.$$

Для $$y=4ax^2-8x+a-2$$ имеем:

$$x_2=-\frac{-8}{2\cdot 4a}=\frac{1}{a}, \quad a\ne 0,$$

$$y_2=g\!\left(\frac{1}{a}\right)=4a\cdot \frac{1}{a^2}-8\cdot \frac{1}{a}+a-2=a-\frac{4}{a}-2.$$

Чтобы вершины двух парабол лежали по одну сторону от прямой $$y=-5,$$ их ординаты должны быть либо обе больше $$-5,$$ либо обе меньше $$-5.$$

Рассмотрим оба случая.

1. Обе вершины выше прямой $$y=-5$$:

   $$-4a^2-9>-5,$$

   $$a-\frac{4}{a}-2>-5.$$

   Из первого неравенства получаем

   $$-4a^2>4,$$

   что невозможно. Значит, этот случай не подходит.

2. Обе вершины ниже прямой $$y=-5$$:

   $$-4a^2-9<-5,$$

   $$a-\frac{4}{a}-2<-5.$$

   Первое неравенство выполняется при любых $$a$$, так как

   $$-4a^2<4.$$

   Остаётся решить второе:

   $$a-\frac{4}{a}+3<0,$$

   $$\frac{a^2+3a-4}{a}<0,\quad a\ne 0.$$

   Разложим числитель на множители:

   $$a^2+3a-4=(a+4)(a-1).$$

   Тогда

   $$\frac{(a+4)(a-1)}{a}<0.$$

   По знакам получаем:

   $$a<-4 \quad \text{или} \quad 0<a<1.$$

Ответ: $$a<-4,\; 0<a<1.$$