Упр.1622 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1622 Найти все значения а, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции у = 4х2 — 4ах + а2 — 2а + 2 на отрезке [0; 2] равно 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1622 1111

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=4x^2-4ax+a^2-2a+2.$$

Это парабола, ветви направлены вверх, значит наименьшее значение на отрезке $$[0;2]$$ достигается либо в вершине, либо на одном из концов отрезка.

Найдём абсциссу вершины:

$$y'(x)=8x-4a,$$

$$8x-4a=0,$$

$$x=\frac a2.$$

Рассмотрим возможные случаи.

Вершина лежит на отрезке $$[0;2]$$:
$$0\le \frac a2 \le 2,$$
$$0\le a\le 4.$$
Тогда минимальное значение равно значению функции в вершине:
$$3=4\left(\frac a2\right)^2-4a\cdot \frac a2+a^2-2a+2,$$
$$3=a^2-2a+2,$$
$$a^2-2a-1=0.$$
$$a=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=1\pm\sqrt2.$$
Из условия $$0\le a\le 4$$ подходит только
$$a=1+\sqrt2.$$
Вершина лежит правее отрезка $$[0;2]$$:
$$\frac a2\ge 2,\quad a\ge 4.$$
Тогда функция убывает на $$[0;2]$$, и минимум достигается при $$x=2$$:
$$3=4\cdot 2^2-4a\cdot 2+a^2-2a+2,$$
$$3=a^2-10a+18,$$
$$a^2-10a+15=0.$$
$$a=\frac{10\pm\sqrt{100-60}}{2}=5\pm\sqrt{10}.$$
С учётом $$a\ge 4$$ подходит только
$$a=5+\sqrt{10}.$$
Вершина лежит левее отрезка $$[0;2]$$:
$$\frac a2\le 0,\quad a\le 0.$$
Тогда функция возрастает на $$[0;2]$$, и минимум достигается при $$x=0$$:
$$3=a^2-2a+2,$$
$$a^2-2a-1=0.$$
$$a=1\pm\sqrt2.$$
С учётом $$a\le 0$$ подходит только
$$a=1-\sqrt2.$$