Упр.1621 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых наименьшее значение функции $$y=x^2+(a+4)x+2a+3$$ на отрезке $$[0;2]$$ равно $$-4$$.

Рассмотрим функцию $$y=x^2+(a+4)x+2a+3.$$

Это парабола, ветви направлены вверх, значит на отрезке $$[0;2]$$ наименьшее значение достигается либо в вершине, либо на концах отрезка.

Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=-\frac{a+4}{2}.$$

Рассмотрим три случая.

1. Вершина лежит на отрезке $$[0;2]$$.

   Тогда

   $$0\le -\frac{a+4}{2}\le 2,$$

   откуда

   $$-8\le a\le -4.$$

   Значение функции в вершине равно

   $$y_{\min}=2a+3-\frac{(a+4)^2}{4}.$$

   По условию

   $$2a+3-\frac{(a+4)^2}{4}=-4.$$

   Умножим на $$4$$:

   $$8a+12-(a+4)^2=-16,$$

   $$8a+28-(a^2+8a+16)=0,$$

   $$-a^2+12=0,$$

   $$a^2=12,$$

   $$a=\pm 2\sqrt{3}.$$

   Из них условию $$-8\le a\le -4$$ не удовлетворяет ни одно значение.

2. Вершина лежит правее отрезка $$[0;2]$$.

   Тогда минимум на отрезке достигается при $$x=2$$, и должно быть

   $$y(2)=-4.$$

   Имеем

   $$4+2(a+4)+2a+3=-4,$$

   $$4a+15=-4,$$

   $$4a=-19,$$

   $$a=-\frac{19}{4}.$$

   Но это значение не удовлетворяет условию $$a\le -8$$, значит не подходит.

3. Вершина лежит левее отрезка $$[0;2]$$.

   Тогда минимум на отрезке достигается при $$x=0$$, и

   $$y(0)=-4.$$

   Получаем

   $$2a+3=-4,$$

   $$2a=-7,$$

   $$a=-\frac{7}{2}.$$

   Это значение удовлетворяет условию $$a\ge -4$$.

Ответ: $$a=-\frac{7}{2}.$$