Упр.1620 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$x$$, при которых функция $$y=6\cos^2 x+6\sin x-2$$ принимает наибольшее значение.

Преобразуем функцию:

$$y=6\cos^2 x+6\sin x-2=6(1-\sin^2 x)+6\sin x-2.$$

Тогда

$$y=4-6\sin^2 x+6\sin x.$$

Обозначим $$t=\sin x,$$ где $$-1\le t\le 1.$$ Получим квадратный трёхчлен:

$$y=-6t^2+6t+4.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$t=\frac{-6}{2\cdot(-6)}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этих значениях

$$y_{\max}=-6\cdot\left(\frac12\right)^2+6\cdot\frac12+4=\frac{11}{2}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Наибольшее значение функции равно $$\frac{11}{2}.$$