Упр.1620 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1620 Найти все значения х, при которых функция у = 6 cos2 х + + 6 sin х — 2 принимает наибольшее значение. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1620 1111

Преобразуем функцию:

$$y=6\cos^2 x+6\sin x-2=6(1-\sin^2 x)+6\sin x-2.$$

Тогда

$$y=4-6\sin^2 x+6\sin x.$$

Обозначим $$t=\sin x$$, где $$-1\le t\le 1$$. Получаем квадратичную функцию:

$$y=-6t^2+6t+4.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$t=\frac{-6}{2\cdot(-6)}=\frac12.$$

Следовательно, нужно найти все $$x$$, при которых

$$\sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим значение функции в этих точках:

$$y_{\max}=-6\left(\frac12\right)^2+6\cdot\frac12+4=\frac{11}{2}.$$

Ответ

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Наибольшее значение функции равно $$\frac{11}{2}.$$