Упр.162 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение:

1) $$\sqrt{x-6}=-x^2$$;

2) $$\sqrt[3]{x}=(x-1)^2$$;

3) $$\sqrt{x+1}=x^2-7$$;

4) $$x^3-1=\sqrt{x+1}$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим графики функций $$y=\sqrt{x-6}$$ и $$y=-x^2.$$

Область определения первой функции: $$x-6\ge 0,\quad x\ge 6.$$

При $$x\ge 6$$ имеем $$\sqrt{x-6}\ge 0,$$ а $$-x^2\le 0.$$

Равенство возможно только при одновременном выполнении $$\sqrt{x-6}=0$$ и $$-x^2=0,$$ но это невозможно, так как из $$\sqrt{x-6}=0$$ следует $$x=6,$$ а тогда $$-x^2=-36\ne 0.$$

Значит, графики не пересекаются.

2) Рассмотрим графики функций $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=(x-1)^2.$$

Графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня.

3) Рассмотрим графики функций $$y=\sqrt{x+1}$$ и $$y=x^2-7.$$

Область определения первой функции: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

Графики пересекаются в одной точке, значит уравнение имеет один корень.

4) Рассмотрим графики функций $$y=x^3-1$$ и $$y=\sqrt{x-1}.$$

Область определения второй функции: $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Графики пересекаются в одной точке, значит уравнение имеет один корень.