Упр.1619 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Парабола $$y=x^2+px+q$$ пересекает прямую $$y=2x-3$$ в точке с абсциссой $$1$$. При каких значениях $$p$$ и $$q$$ расстояние от вершины параболы до оси $$Ox$$ является наименьшим? Найти это расстояние.

Так как парабола $$y=x^2+px+q$$ пересекает прямую $$y=2x-3$$ в точке с абсциссой $$1$$, подставим $$x=1$$ в уравнения графиков:

$$1^2+p\cdot 1+q=2\cdot 1-3$$

$$1+p+q=-1$$

$$p+q=-2,$$

откуда

$$q=-2-p.$$

Координаты вершины параболы $$y=x^2+px+q$$:

$$x_0=-\frac{p}{2}, \qquad y_0=-\frac{p^2-4q}{4}.$$

Расстояние от вершины до оси $$Ox$$ равно модулю ординаты вершины:

$$d=\left|y_0\right|=\left|-\frac{p^2-4q}{4}\right|=\frac{p^2-4q}{4}.$$

Подставим $$q=-2-p$$:

$$d(p)=\frac{p^2-4(-2-p)}{4}=\frac{p^2+4p+8}{4}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$d'(p)=\frac{2p+4}{4}=\frac{p+2}{2}.$$

$$d'(p)=0 \iff p=-2.$$

Это точка минимума, так как коэффициент при $$p^2$$ положителен. Тогда

$$q=-2-(-2)=0.$$

Найдём минимальное расстояние:

$$d=\frac{(-2)^2+4\cdot(-2)+8}{4}=\frac{4-8+8}{4}=1.$$

Ответ

$$p=-2,\quad q=0,\quad d_{\min}=1.$$