Упр.1618 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1618 При каком значении к площадь фигуры, заключённой между параболой у = х2 + 2х — 3 и прямой у = kx + 1, наименьшая? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1618 1111

Подробный ответ

Найдём точки пересечения параболы и прямой:

$$x^2+2x-3=kx+1,$$

$$x^2+(2-k)x-4=0.$$

Обозначим дискриминант:

$$D=(2-k)^2+16=k^2-4k+20.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{k-2\pm\sqrt{D}}{2}.$$

Площадь фигуры равна

$$S=\int_{x_1}^{x_2}\bigl((kx+1)-(x^2+2x-3)\bigr)\,dx=\int_{x_1}^{x_2}(kx+4-x^2-2x)\,dx.$$

После вычисления и упрощения получаем:

$$S=\frac{1}{6}\sqrt{D}\,(D+3(k-2)^2).$$

Подставим $$D=k^2-4k+20$$:

$$S=\frac{1}{6}\sqrt{k^2-4k+20}\,\bigl(k^2-4k+20+3(k-2)^2\bigr).$$

Так как

$$k^2-4k+20+3(k-2)^2=4(k^2-4k+10),$$

то

$$S=\frac{2}{3}\sqrt{k^2-4k+20}\,(k^2-4k+10).$$

Положим $$t=k^2-4k+20=(k-2)^2+16\ge 16.$$ Тогда

$$S=\frac{2}{3}\sqrt{t}\,(t-10).$$

Рассмотрим функцию

$$\varphi(t)=\sqrt{t}\,(t-10), \quad t\ge 16.$$

Её производная:

$$\varphi'(t)=\frac{3t-10}{2\sqrt{t}}.$$

При $$t\ge 16$$ имеем $$3t-10>0$$, значит $$\varphi(t)$$ возрастает. Следовательно, наименьшее значение площади достигается при наименьшем $$t$$, то есть при

$$t=16.$$

Это возможно только при

$$k^2-4k+20=16,$$

$$k^2-4k+4=0,$$

$$ (k-2)^2=0,$$

$$k=2.$$