Упр.1618 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каком значении $$k$$ площадь фигуры, заключённой между параболой $$y=x^2+2x-3$$ и прямой $$y=kx+1$$, наименьшая?

Найдём точки пересечения параболы $$y=x^2+2x-3$$ и прямой $$y=kx+1$$:

$$x^2+2x-3=kx+1,$$

$$x^2+(2-k)x-4=0.$$

Обозначим дискриминант этого уравнения через $$D$$:

$$D=(2-k)^2+16=k^2-4k+20.$$

Тогда корни равны

$$x_{1,2}=\frac{k-2\mp \sqrt{D}}{2}.$$

Площадь фигуры между графиками:

$$S=\int\limits_{x_1}^{x_2}\bigl((kx+1)-(x^2+2x-3)\bigr)\,dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}(kx+4-x^2-2x)\,dx.$$

После вычисления получаем

$$S=\frac{1}{6}\sqrt{D}\,(D+3(k-2)^2).$$

Подставим $$D=k^2-4k+20$$:

$$S=\frac{1}{6}\sqrt{k^2-4k+20}\,\bigl(k^2-4k+20+3(k-2)^2\bigr).$$

Так как

$$k^2-4k+20+3(k-2)^2=4(k^2-4k+10),$$

то

$$S=\frac{2}{3}\sqrt{k^2-4k+20}\,(k^2-4k+10).$$

Положим $$t=k^2-4k+20=(k-2)^2+16\ge 16.$$ Тогда

$$S=\frac{2}{3}\sqrt{t}\,(t-10).$$

При $$t\ge 16$$ эта функция возрастает, значит наименьшее значение площади достигается при наименьшем $$t$$, то есть при

$$k=2.$$

Ответ: $$k=2$$.