Упр.1617 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1617 На параболе у = 2×2 — 3х + 8 найти точки, касательные в которых проходят через начало координат. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1617 1111

Пусть касательная к параболе $$y=2x^2-3x+8$$ проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда её уравнение:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a),$$

где $$f(x)=2x^2-3x+8.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4x-3,$$

значит,

$$f'(a)=4a-3,\qquad f(a)=2a^2-3a+8.$$

Уравнение касательной:

$$y=(4a-3)(x-a)+2a^2-3a+8.$$

Раскроем скобки:

$$y=4ax-3x-4a^2+3a+2a^2-3a+8,$$

$$y=4ax-3x-2a^2+8.$$

Так как касательная проходит через начало координат, подставим $$x=0$$ и $$y=0$$:

$$0=-2a^2+8,$$

$$2a^2=8,$$

$$a^2=4,$$

$$a=\pm 2.$$

Найдём соответствующие точки параболы:

при $$a=2$$

$$y(2)=2\cdot 2^2-3\cdot 2+8=10,$$

при $$a=-2$$

$$y(-2)=2\cdot (-2)^2-3\cdot (-2)+8=22.$$

Итак, искомые точки: $$(-2;22)$$ и $$ (2;10).$$

Ответ

$$( -2;22),\ (2;10).$$