Упр.1616 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1616 Найти все значения а, при которых неравенство log1/2(х2 + ах+ 1) < 1 выполняется для всех х из промежутка (-бесконечность; 0). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1616 1111

Подробный ответ

Так как основание логарифма $$\frac12<1,$$ то неравенство

$$\log_{\frac12}(x^2+ax+1)<1$$

равносильно

$$x^2+ax+1>\frac12,$$

то есть

$$x^2+ax+\frac12>0.$$

Нужно, чтобы это неравенство выполнялось при всех $$x\in(-\infty;0).$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$f(x)=x^2+ax+\frac12.$$ Его ветви направлены вверх.

Чтобы $$f(x)>0$$ для всех $$x<0,$$ достаточно, чтобы оба корня (если они есть) были неотрицательными. Для этого найдём дискриминант:

$$D=a^2-2.$$

Если $$D<0,$$ то корней нет, и тогда $$f(x)>0$$ при всех $$x,$$ в частности при всех $$x<0.$$ Получаем

$$a^2-2<0,$$

$$a^2<2,$$

$$-\sqrt2<a<\sqrt2.$$

Проверим случай $$D\ge 0.$$ Тогда корни равны

$$x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-2}}{2}.$$

Чтобы оба корня были неотрицательными, нужно

$$\frac{-a-\sqrt{a^2-2}}{2}\ge 0,$$

то есть

$$-a\ge \sqrt{a^2-2}.$$

Это возможно только при $$a<0.$$ Возведём в квадрат:

$$a^2\ge a^2-2,$$

что верно всегда, но при этом из условия $$-a\ge \sqrt{a^2-2}$$ следует

$$a^2\ge 1.$$

Совместно с $$D\ge 0$$ получаем $$|a|\ge 1$$ и $$a^2\ge 2,$$ то есть $$|a|\ge \sqrt2.$$ Однако при $$a\le -\sqrt2$$ левый корень неотрицательным не становится для всех случаев, а при $$a\ge \sqrt2$$ корни не подходят по знаку. Следовательно, подходящих значений вне случая $$D<0$$ нет.

Итак, искомые значения параметра:

$$-\sqrt2<a<\sqrt2.$$