Упр.1616 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых неравенство $$\log_{\frac{1}{2}}(x^2+ax+1)<1$$ выполняется для всех $$x$$ из промежутка $$(-\infty;0)$$.

Так как основание логарифма $$\frac12<1,$$ то неравенство

$$\log_{\frac12}(x^2+ax+1)<1$$

равносильно неравенству

$$x^2+ax+1>\frac12,$$

то есть

$$x^2+ax+\frac12>0.$$

Это неравенство должно выполняться при всех $$x\in(-\infty;0).$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$x^2+ax+\frac12.$$ Его ветви направлены вверх. Чтобы он был положителен при всех отрицательных $$x,$$ достаточно, чтобы его наибольший корень был неотрицательным или корней не было вовсе.

Найдём дискриминант:

$$D=a^2-2.$$

1) Если $$D<0,$$ то корней нет, и неравенство выполняется при всех $$x.$$ Тогда

$$a^2-2<0,$$

$$-\sqrt2<a<\sqrt2.$$

2) Если $$D\ge 0,$$ то корни равны

$$x_{1,2}=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-2}}{2}.$$

Чтобы оба корня были неотрицательными, нужно, чтобы меньший корень был неотрицателен:

$$\frac{-a-\sqrt{a^2-2}}{2}\ge 0.$$

Но при $$a\ge 0$$ левая часть отрицательна, а при $$a<0$$ получаем

$$-a\ge \sqrt{a^2-2}.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2\ge a^2-2,$$

что верно всегда. Значит, при $$a<0$$ условие выполняется. Однако при $$a\le -\sqrt2$$ дискриминант неотрицателен, и оба корня действительно неотрицательны.

Итак, объединяя случаи, получаем

$$a<\sqrt2.$$

Ответ

$$a<\sqrt2.$$