Упр.1614 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) logx2|3x+1| < 1/2.

Подробный ответ

$$\log_{|2x+1|} x^2 \ge 2$$
Представим число $$2$$ как логарифм по тому же основанию:
$$\log_{|2x+1|} x^2 \ge \log_{|2x+1|} |2x+1|^2$$
Чтобы логарифм был определён, нужно:
$$|2x+1|>0,\quad |2x+1|\ne 1,\quad x^2>0$$
Так как основание логарифма зависит от $$x$$, рассмотрим случаи.
1) Если $$|2x+1|>1$$, то знак неравенства сохраняется:
$$x^2 \ge (2x+1)^2$$
$$x^2 \ge 4x^2+4x+1$$
$$3x^2+4x+1 \le 0$$
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 2}{6}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=-\frac13$$
Тогда
$$-1 \le x \le -\frac13$$
С учётом условия $$|2x+1|>1$$ получаем:
$$-1 \le x \le -\frac13$$
2) Если $$0<|2x+1|<1$$, то знак неравенства меняется:
$$x^2 \le (2x+1)^2$$
$$x^2 \le 4x^2+4x+1$$
$$3x^2+4x+1 \ge 0$$
Отсюда
$$x \le -1 \quad \text{или} \quad x \ge -\frac13$$
С учётом условия $$0<|2x+1|<1$$ получаем:
$$-\frac13 \le x < 0$$
Объединяя результаты, получаем:
$$-\frac13 \le x < 0$$
$$\log_{x^2} |3x+1| < \frac12$$
Запишем $$\frac12$$ как логарифм:
$$\log_{x^2} |3x+1| < \log_{x^2} |x|$$
Область определения:
$$x^2>0,\quad x^2\ne 1,\quad |3x+1|>0,\quad |3x+1|>0$$
То есть $$x\ne 0,\; x\ne \pm 1,\; x\ne -\frac13.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x^2>1$$, то есть $$x<-1$$ или $$x>1$$, то знак неравенства сохраняется:
$$|3x+1|<|x|$$
$$ (3x+1)^2<x^2 $$
$$9x^2+6x+1<x^2$$
$$8x^2+6x+1<0$$
$$D=6^2-4\cdot 8\cdot 1=36-32=4$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 2}{16}$$
$$x_1=-\frac12,\quad x_2=-\frac14$$
Тогда
$$-\frac12<x<-\frac14$$
С учётом условия $$x<-1$$ или $$x>1$$ решений нет.
2) Если $$0<x^2<1$$, то есть $$-1<x<1,\; x\ne 0,$$ то знак неравенства меняется:
$$|3x+1|>|x|$$
$$ (3x+1)^2>x^2 $$
$$8x^2+6x+1>0$$
Корни те же:
$$x=-\frac12,\quad x=-\frac14$$
Тогда
$$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>-\frac14$$
С учётом $$-1<x<1$$ и исключения $$x=-\frac13$$ получаем:
$$-1<x<-\frac12,\quad -\frac14<x<0,\quad 0<x<1$$