Упр.1614 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\log_{x^2}\lvert 2x+1\rvert \geq 2$$
- $$\log_{x^2}\lvert 3x+1\rvert < \frac{1}{2}$$
1) Рассмотрим неравенство $$\log_{|2x+1|} x^2 \ge 2.$$
Запишем число $$2$$ как логарифм по тому же основанию:
$$\log_{|2x+1|} x^2 \ge \log_{|2x+1|} |2x+1|^2.$$
Для этого нужно, чтобы основание логарифма было положительным и не равным $$1$$:
$$|2x+1|>0,\qquad |2x+1|\ne 1.$$
Так как при $$|2x+1|>1$$ логарифмическая функция возрастает, а при $$0<|2x+1|<1$$ убывает, рассмотрим оба случая.
1. Если $$|2x+1|>1$$, то
$$x^2 \ge (2x+1)^2,$$
$$x^2-4x^2-4x-1\ge 0,$$
$$3x^2+4x+1\le 0,$$
$$(3x+1)(x+1)\le 0.$$
Отсюда
$$-1\le x\le -\frac13.$$
С учётом условия $$|2x+1|>1$$ получаем
$$-1\le x\le -\frac13.$$
2. Если $$0<|2x+1|<1$$, то знак неравенства меняется:
$$x^2 \le (2x+1)^2,$$
$$3x^2+4x+1\ge 0,$$
$$(3x+1)(x+1)\ge 0.$$
Но при $$0<|2x+1|<1$$ имеем $$-\!1<x<0$$, и тогда из решения неравенства остаётся
$$-\frac13\le x<0.$$
Итак, для первого неравенства:
$$-\!1\le x\le -\frac13.$$
2) Рассмотрим неравенство $$\log_{x^2}|3x+1|<\frac12.$$
Перепишем его в виде
$$2\log_{x^2}|3x+1|<1,$$
$$\log_{x^2}(3x+1)^2<\log_{x^2}x^2.$$
Область определения:
$$x^2>0,\qquad x^2\ne 1,\qquad |3x+1|>0.$$
То есть
$$x\ne 0,\qquad x\ne \pm 1,\qquad x\ne -\frac13.$$
Рассмотрим два случая.
1. Если $$x^2>1$$, то логарифмическая функция возрастает, и получаем
$$(3x+1)^2<x^2,$$
$$9x^2+6x+1<x^2,$$
$$8x^2+6x+1<0,$$
$$(4x+1)(2x+1)<0.$$
Отсюда
$$-\frac12<x<-\frac14.$$
С учётом условия $$x^2>1$$ этот промежуток не подходит.
2. Если $$0<x^2<1$$, то логарифмическая функция убывает, и тогда
$$(3x+1)^2>x^2,$$
$$8x^2+6x+1>0,$$
$$(4x+1)(2x+1)>0.$$
Решая с учётом $$-1<x<1$$ и исключая точки разрыва, получаем
$$-\!1<x<-\frac12,\qquad -\frac14<x<0,\qquad 0<x<1.$$
Итак,
$$x\in\left(-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac14;0\right)\cup(0;1).$$
Ответ
1) $$-\!1\le x\le -\frac13.$$
2) $$x\in\left(-1;-\frac12\right)\cup\left(-\frac14;0\right)\cup(0;1).$$
