Упр.1613 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 1/log5(3-2x) — 1/(4-log5(3-2x)) < 0.

1. Рассмотрим неравенство

   $$\log_{\frac12}(1+x)-\sqrt{x^2-4}\le 0.$$

   Перенесём корень вправо:

   $$\log_{\frac12}(1+x)\le \sqrt{x^2-4}.$$

   Область допустимых значений:

   $$ \begin{cases} 1+x>0,\\ x^2-4\ge 0. \end{cases} $$

   Отсюда

   $$x>-1,\qquad x\le -2 \text{ или } x\ge 2.$$

   Совместно получаем только

   $$x\ge 2.$$

   При $x\ge 2$ имеем $1+x>1$, значит

   $$\log_{\frac12}(1+x)\le 0,$$

   а также $$\sqrt{x^2-4}\ge 0.$$

   Следовательно, неравенство выполняется при всех $x\ge 2$.

2. Рассмотрим неравенство

   $$\frac{1}{\log_5(3-2x)}-\frac{1}{4-\log_5(3-2x)}<0.$$

   Положим

   $$y=\log_5(3-2x).$$

   Тогда получаем

   $$\frac{1}{y}-\frac{1}{4-y}<0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{4-y-y}{y(4-y)}<0 $$

   $$ \frac{2(2-y)}{y(4-y)}<0. $$

   Критические точки: $y=0$, $y=2$, $y=4$.

   Исследование знаков даёт:

   $$0<y<2 \quad \text{или} \quad y>4.$$

   Возвращаемся к переменной $x$.

   1) Если $$0<\log_5(3-2x)<2,$$ то

   $$1<3-2x<25,$$

   откуда

   $$-11<x<1.$$

   2) Если $$\log_5(3-2x)>4,$$ то

   $$3-2x>625,$$

   что невозможно.

   Значит, подходит только промежуток $$-11<x<1.$$

Ответ

1) $$x\ge 2$$

2) $$-11<x<1$$