Упр.1612 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1612 1) (2/5)x2-5x+6 < 1; 2)5x-3(x+1) > 2(5(x-1)-3(x-2)).

1. $$\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2-5x+6}<1$$

   Так как $$\frac{2}{5}<1,$$ то

   $$x^2-5x+6>0.$$

   Разложим квадратный трёхчлен на множители:

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

   Тогда

   $$ (x-2)(x-3)>0.$$

   Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

   $$x<2 \quad \text{или} \quad x>3.$$

2. $$5^x-3^{x+1}>2\bigl(5^{x-1}-3^{x-2}\bigr)$$

   Преобразуем степени:

   $$5^x-3\cdot 3^x>2\left(\frac{5^x}{5}-\frac{3^x}{9}\right).$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$5^x-3\cdot 3^x-\frac{2}{5}5^x+\frac{2}{9}3^x>0,$$

   $$\frac{3}{5}5^x-\frac{25}{9}3^x>0.$$

   Умножим на $$45>0$$:

   $$27\cdot 5^x-125\cdot 3^x>0.$$

   Представим коэффициенты как степени:

   $$3^3\cdot 5^x>5^3\cdot 3^x.$$

   Делим на положительное число $$3^x5^3$$:

   $$\left(\frac{5}{3}\right)^x>\left(\frac{5}{3}\right)^3.$$

   Так как $$\frac{5}{3}>1,$$ получаем

   $$x>3.$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty).$$

2) $$x\in(3;+\infty).$$