Упр.1611 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) (8×2-4x+3)/(4×2-2x+1) < =a; 2) (3x2-4x+8)/(9x2-12x+16) > =a

1. Рассмотрим неравенство

   $$\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}\le a.$$

   Обозначим

   $$f(x)=\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1}.$$

   Найдём наибольшее значение функции. Производная:

   $$ f'(x)=\frac{(16x-4)(4x^2-2x+1)-(8x^2-4x+3)(8x-2)}{(4x^2-2x+1)^2} =\frac{2-8x}{(4x^2-2x+1)^2}. $$

   Так как знаменатель всегда положителен, то

   $$f'(x)>0 \text{ при } x<\frac14,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x>\frac14.$$

   Значит, при $$x=\frac14$$ достигается максимум функции.

   $$ f\!\left(\frac14\right)= \frac{8\cdot \frac1{16}-4\cdot \frac14+3}{4\cdot \frac1{16}-2\cdot \frac14+1} = \frac{\frac12-1+3}{\frac14-\frac12+1} = \frac{\frac52}{\frac34} = \frac{10}{3}. $$

   Следовательно, чтобы неравенство выполнялось при всех $$x$$, нужно и достаточно, чтобы

   $$a\ge \frac{10}{3}.$$

2. Рассмотрим неравенство

   $$\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}\ge a.$$

   Обозначим

   $$g(x)=\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16}.$$

   Найдём наименьшее значение функции. Производная:

   $$ g'(x)=\frac{(6x-4)(9x^2-12x+16)-(3x^2-4x+8)(18x-12)}{(9x^2-12x+16)^2} =\frac{32-48x}{(9x^2-12x+16)^2}. $$

   Так как знаменатель всегда положителен, то

   $$g'(x)>0 \text{ при } x<\frac23,\qquad g'(x)<0 \text{ при } x>\frac23.$$

   Значит, при $$x=\frac23$$ достигается максимум, а наименьшее значение ищем по пределу на бесконечности:

   $$ \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16} = \frac{3}{9} = \frac13. $$

   Следовательно, неравенство выполняется при всех $$x$$ тогда и только тогда, когда

   $$a\le \frac13.$$

Ответ

1) $$a\ge \frac{10}{3}$$;

2) $$a\le \frac13$$.