Упр.1609 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

система
log3(y — 3) — 2 log9(x) = 0,
(х + а)2 -2у — 5а = 0 имеет хотя бы одно решение?

Из первого уравнения получаем:

$$\log_3(y-3)-2\log_9 x=0.$$

Так как $$\log_9 x=\frac{1}{2}\log_3 x,$$ то

$$\log_3(y-3)-\log_3 x=0,$$

$$\log_3\frac{y-3}{x}=0,$$

$$\frac{y-3}{x}=1,$$

$$y=x+3.$$

С учётом области допустимых значений: $$x>0,\ y>3.$$

Подставим $$y=x+3$$ во второе уравнение:

$$ (x+a)^2-2(x+3)-5a=0,$$

$$x^2+2ax+a^2-2x-6-5a=0,$$

$$x^2+(2a-2)x+(a^2-5a-6)=0.$$

Чтобы система имела хотя бы одно решение, это квадратное уравнение должно иметь корень $$x>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2a-2)^2-4(a^2-5a-6)=4(3a+7).$$

Следовательно,

$$3a+7\ge 0,\qquad a\ge -\frac{7}{3}.$$

Корни уравнения:

$$x_{1,2}=1-a\pm\sqrt{3a+7}.$$

Рассмотрим, когда хотя бы один из корней положителен и при этом выполняется $$y=x+3>3.$$

Для меньшего корня:

$$1-a-\sqrt{3a+7}>0,$$

$$1-a>\sqrt{3a+7},$$

$$ (1-a)^2>3a+7,$$

$$a^2-5a-6>0,$$

$$ (a+1)(a-6)>0,$$

откуда $$a<-1$$ или $$a>6.$$

С учётом $$a\ge -\frac{7}{3}$$ получаем:

$$-\frac{7}{3}\le a<-1.$$

Для большего корня:

$$1-a+\sqrt{3a+7}>0.$$

Это неравенство выполняется при всех $$a\ge -\frac{7}{3}$$, так как $$\sqrt{3a+7}\ge 0.$$

Но нужно, чтобы существовал хотя бы один положительный корень, а при $$a\ge -\frac{7}{3}$$ и $$a<6$$ это условие выполняется.

Итак, система имеет хотя бы одно решение при

$$-\frac{7}{3}\le a<6.$$

Ответ

$$-\frac{7}{3}\le a<6.$$