Упр.1607 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}6x-2\cdot3y=2,\\6x\cdot3y=12;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}7\cdot2x+6y=2,\\3\cdot2(x+1)-5y=93.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 6^x-2\cdot 3^y=2,\\ 6^x\cdot 3^y=12. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем

$$6^x=2\cdot 3^y+2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$(2\cdot 3^y+2)\cdot 3^y=12.$$

Обозначим $$z=3^y$$. Тогда

$$2z^2+2z-12=0,$$

или

$$z^2+z-6=0.$$

$$(z-2)(z+3)=0,$$

откуда $$z=2$$ или $$z=-3$$. Так как $$z=3^y>0$$, то $$z=2$$.

Тогда

$$3^y=2,\qquad y=\log_3 2.$$

Найдём $$x$$:

$$6^x=2\cdot 3^y+2=2\cdot 2+2=6,$$

значит, $$x=1$$.

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 7\cdot 2^x+6y=2,\\ 3\cdot 2^{x+1}-5y=93. \end{cases}$$

Так как $$3\cdot 2^{x+1}=6\cdot 2^x$$, получаем

$$\begin{cases} 7\cdot 2^x+6y=2,\\ 6\cdot 2^x-5y=93. \end{cases}$$

Из первого уравнения

$$2^x=\frac{2-6y}{7}.$$

Подставим во второе:

$$6\cdot \frac{2-6y}{7}-5y=93.$$

Умножим на $$7$$:

$$12-36y-35y=651,$$

$$-71y=639,$$

откуда

$$y=-9.$$

Тогда

$$2^x=\frac{2-6(-9)}{7}=\frac{56}{7}=8,$$

значит, $$x=3$$.

Ответ: 1) $$\left(1;\log_3 2\right)$$; 2) $$\left(3;-9\right)$$.