Упр.1606 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1606. Решить системы уравнений:
      
      1) $$\begin{cases}x-3y=-5,\\ \dfrac{x}{3y}-\dfrac{2y}{x}=-\dfrac{23}{6};\end{cases}$$
      
      2) $$\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{10}{3},\\ x^2+y^2=5.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x-3y=-5,\\ \dfrac{x}{3y}-\dfrac{2y}{x}=-\dfrac{23}{6}. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем $$x=3y-5.$$ Подставим во второе:

$$\dfrac{3y-5}{3y}-\dfrac{2y}{3y-5}=-\dfrac{23}{6}.$$

Умножим обе части на $$18y(3y-5)$$:

$$6(3y-5)^2-36y^2+69y(3y-5)=0.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$6(9y^2-30y+25)-36y^2+207y^2-345y=0,$$

$$225y^2-525y+150=0,$$

$$3y^2-7y+2=0.$$

Найдём корни:

$$D=49-24=25,$$

$$y_1=\dfrac{7-5}{6}=\dfrac13,\qquad y_2=\dfrac{7+5}{6}=2.$$

Тогда

$$x_1=3\cdot\dfrac13-5=1-5=-4,\qquad x_2=3\cdot2-5=1.$$

Получаем пары решений: $$(-4;\dfrac13)$$ и $$(1;2).$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{10}{3},\\ x^2+y^2=5. \end{cases}$$

ОДЗ: $$x-y\ne0,\; x+y\ne0.$$

Приведём левую часть первого уравнения к общему знаменателю:

$$\dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{10}{3}.$$

Тогда

$$\dfrac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2}=\dfrac{10}{3}.$$

С учётом $$x^2+y^2=5$$ имеем:

$$\dfrac{2\cdot5}{x^2-y^2}=\dfrac{10}{3},$$

$$\dfrac{10}{x^2-y^2}=\dfrac{10}{3},$$

$$x^2-y^2=3.$$

Решаем систему

$$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ x^2-y^2=3. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2x^2=8,\qquad x^2=4,\qquad x=\pm2.$$

Тогда

$$y^2=5-4=1,\qquad y=\pm1.$$

Проверка ОДЗ выполнена, все знаки подходят. Получаем четыре решения:

$$(-2;-1),\;(-2;1),\;(2;-1),\;(2;1).$$

Ответ

1) $$(-4;\dfrac13),\ (1;2).$$

2) $$(-2;-1),\ (-2;1),\ (2;-1),\ (2;1).$$