Упр.1605 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1605 Найти все значения a, при которых уравнение sin8x+cos8x=a имеет корни, и решить это уравнение.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin^8 x+\cos^8 x=(\sin^4 x-\cos^4 x)^2+2\sin^4 x\cos^4 x.$$

Так как

$$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x-\cos^2 x,$$

то

$$\sin^8 x+\cos^8 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)^2+2\sin^4 x\cos^4 x.$$

Используем формулы

$$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x,\qquad \sin x\cos x=\frac12\sin 2x.$$

Тогда

$$\sin^8 x+\cos^8 x=\cos^2 2x+\frac18\sin^4 2x.$$

Положим $$t=\sin^2 2x$$. Тогда $$\cos^2 2x=1-t$$, и уравнение принимает вид

$$1-t+\frac18 t^2=a,$$

или

$$t^2-8t+(8-8a)=0.$$

Найдём корни этого квадратного уравнения:

$$D=64-4(8-8a)=32+32a=32(1+a),$$

$$t_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{32(1+a)}}{2}=4\pm2\sqrt{2(1+a)}.$$

Так как $$t=\sin^2 2x$$, то должно выполняться $$0\le t\le 1$$.

Значение

$$t_1=4+2\sqrt{2(1+a)}$$

не подходит, так как оно всегда больше $$1$$.

Для второго корня получаем:

$$0\le 4-2\sqrt{2(1+a)}\le 1.$$

Из правого неравенства:

$$4-2\sqrt{2(1+a)}\le 1$$

$$2\sqrt{2(1+a)}\ge 3$$

$$2(1+a)\ge \frac94$$

$$a\ge \frac18.$$

Из левого неравенства:

$$4-2\sqrt{2(1+a)}\ge 0$$

$$\sqrt{2(1+a)}\le 2$$

$$a\le 1.$$

Итак, уравнение имеет корни при

$$\frac18\le a\le 1.$$

Тогда

$$\sin^2 2x=4-2\sqrt{2(1+a)},$$

откуда

$$\sin 2x=\pm\sqrt{4-2\sqrt{2(1+a)}}.$$

Следовательно,

$$2x=(-1)^k\arcsin\sqrt{4-2\sqrt{2(1+a)}}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

и значит

$$x=\frac{(-1)^k}{2}\arcsin\sqrt{4-2\sqrt{2(1+a)}}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z,\ k\in\{0,1\}.$$

Ответ

$$\frac18\le a\le 1,$$

$$x=\frac{(-1)^k}{2}\arcsin\sqrt{4-2\sqrt{2(1+a)}}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z,\ k\in\{0,1\}.$$