Упр.1605 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$\sin 8x+\cos 8x=a$$ имеет корни, и решить это уравнение.

Преобразуем левую часть:

$$\sin^8 x+\cos^8 x=(\sin^4 x-\cos^4 x)^2+2\sin^4 x\cos^4 x.$$

Так как $$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x-\cos^2 x,$$ то

$$\sin^8 x+\cos^8 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)^2+2\sin^4 x\cos^4 x.$$

Положим $$t=\sin^2 x\cos^2 x.$$ Тогда

$$\sin^2 x-\cos^2 x=1-2\cos^2 x \text{ или } 2\sin^2 x-1,$$

а удобнее использовать тождество

$$\sin^8 x+\cos^8 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^4-4\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x)^2+2\sin^4 x\cos^4 x,$$

что после упрощения даёт

$$\sin^8 x+\cos^8 x=1-4\sin^2 x\cos^2 x+2\sin^4 x\cos^4 x.$$

Используем формулу $$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x.$$ Тогда

$$\sin^8 x+\cos^8 x=1-\sin^2 2x+\frac18\sin^4 2x.$$

Получаем уравнение

$$1-\sin^2 2x+\frac18\sin^4 2x=a,$$

или

$$\sin^4 2x-8\sin^2 2x+(8-8a)=0.$$

Обозначим $$y=\sin^2 2x$$. Тогда

$$y^2-8y+(8-8a)=0.$$

Найдём корни:

$$y_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-4(8-8a)}}{2}=4\pm2\sqrt{2+2a}.$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы хотя бы одно из значений $$y$$ принадлежало отрезку $$[0,1]$$, так как $$0\le \sin^2 2x\le 1$$.

Значение

$$y_1=4+2\sqrt{2+2a}$$

не подходит, так как $$y_1\ge 4.$$

Для второго корня требуется

$$0\le 4-2\sqrt{2+2a}\le 1.$$

Решим неравенство:

$$4-2\sqrt{2+2a}\ge 0 \;\Rightarrow\; \sqrt{2+2a}\le 2 \;\Rightarrow\; a\le 1,$$

$$4-2\sqrt{2+2a}\le 1 \;\Rightarrow\; \sqrt{2+2a}\ge \frac32 \;\Rightarrow\; 2+2a\ge \frac94 \;\Rightarrow\; a\ge \frac18.$$

Итак,

$$\frac18\le a\le 1.$$

Тогда

$$\sin^2 2x=4-2\sqrt{2+2a},$$

откуда

$$\sin 2x=\pm\sqrt{4-2\sqrt{2+2a}}.$$

Следовательно,

$$2x=\pm\arcsin\sqrt{4-2\sqrt{2+2a}}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и окончательно

$$x=\pm\frac12\arcsin\sqrt{4-2\sqrt{2+2a}}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\frac18\le a\le 1,$$

$$x=\pm\frac12\arcsin\sqrt{4-2\sqrt{2+2a}}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$