Упр.1604 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1604 Найти наибольший на интервале (-пи/6; пи/2) корень уравнения cos(5х + пи/2) + 2 sin х cos 2х = 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1604 1111

Подробный ответ

Преобразуем уравнение с помощью формулы суммы косинусов:

$$ \cos\left(5x+\frac{\pi}{2}\right)+2\sin x\cos 2x=0 $$
$$ -\sin 5x+\sin(x+2x)+\sin(x-2x)=0 $$
$$ -\sin 5x+\sin 3x-\sin x=0 $$
$$ \sin 3x-(\sin 5x+\sin x)=0 $$
$$ \sin 3x-2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2}=0 $$
$$ \sin 3x-2\sin 3x\cos 2x=0 $$
$$ \sin 3x\,(1-2\cos 2x)=0. $$

Отсюда:

$$ \sin 3x=0 $$
или
$$ 1-2\cos 2x=0. $$

1) $$\sin 3x=0$$

$$ 3x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi n}{3}. $$
На интервале $$\left(-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right)$$ подходят значения $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi}{3}$$.

2) $$1-2\cos 2x=0$$

$$ \cos 2x=\frac12 $$
$$ 2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n. $$
На данном интервале получаем только $$x=\frac{\pi}{6}$$.

Сравниваем найденные корни на интервале:

$$ -\frac{\pi}{6}<0<\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2}. $$

Наибольший корень — $$\frac{\pi}{3}$$.