Упр.1603 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все корни уравнения $$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2\frac{25\pi}{6}$$, удовлетворяющие неравенству $$\lg\left(x-\sqrt{2x+24}\right)>0$$.

Решим уравнение:

$$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2\frac{25\pi}{6}.$$

Так как $$\sin\frac{25\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ то

$$\sin^4 x+\sin^4\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac14.$$

Используем формулу

$$\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac{1+\sin 2x}{2}.$$

Тогда

$$\sin^4 x+\left(\frac{1+\sin 2x}{2}\right)^2=\frac14.$$

Поскольку $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$ получаем

$$4\sin^4 x+(1+\sin 2x)^2=1,$$

$$4\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2+1+2\sin 2x+\sin^2 2x=1,$$

$$\left(1-\cos 2x\right)^2+2\sin 2x+\sin^2 2x=0,$$

$$1-2\cos 2x+\cos^2 2x+2\sin 2x+\sin^2 2x=0,$$

$$2+2\sin 2x-2\cos 2x=0,$$

$$\sin 2x-\cos 2x=-1.$$

Делим на $$\sqrt2$$:

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Получаем два семейства решений:

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь учтём неравенство

$$\lg\left(x-\sqrt{2x+24}\right)>0.$$

Так как $$\lg t>0 \iff t>1,$$ то

$$x-\sqrt{2x+24}>1.$$

Кроме того, выражение под логарифмом должно быть положительным:

$$x-\sqrt{2x+24}>0.$$

Из условия $$x-\sqrt{2x+24}>1$$ получаем

$$x-1>\sqrt{2x+24},$$

откуда обязательно $$x>1.$$ Возводим в квадрат:

$$x^2-2x+1>2x+24,$$

$$x^2-4x-23>0,$$

$$x<2-\sqrt{27}\quad \text{или}\quad x>2+\sqrt{27}.$$

С учётом $$x>1$$ остаётся

$$x>2+\sqrt{27}.$$

Проверим найденные корни уравнения:

• $$x=\pi n$$ подходит при $$\pi n>2+\sqrt{27},$$ то есть при $$n>2$$;
• $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$$ не даёт подходящих значений, удовлетворяющих неравенству.

Ответ: $$x=\pi n,\ n>2.$$